Wzór ogólny ciągu arytmetycznego wygląda następująco:
an = a1 + (n - 1)r
a1 - pierwszy wyraz ciągu
n – numer wyrazu w ciągu
r – różnica ciągu
Przykład 1
Oblicz czwarty wyraz ciągu arytmetycznego o wzorze an = 5n - 4.
Rozwiązanie
Szukamy wyrazu czwartego czyli a4, zatem podstawiamy w miejsce n liczbę 4.
an = 5n - 4
a4 = 5 · 4 - 4
a4 = 20 - 4
a4 = 16
Czwarty wyraz tego ciągu wynosi 16.
Przykład 2
Podaj wyraz pierwszy, drugi oraz różnicę ciągu arytmetycznego 3, 7, 11, 15, 19, 23.
Rozwiązanie
3, 7, 11, 15, 19, 23
a1 = 3
a2 = 7
a2 - a1 = r
a2 - a1 = 7 - 3 = 4, więc r = 4
Przykład 3
Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego o wyrazach równych 5, 10, 15, 20, 25.
Rozwiązanie
Aby wyznaczyć wzór ciągu skorzystamy ze wzoru ogólnego na ciąg czyli an = a1 + (n - 1)r .
5, 10, 15, 20, 25
a1 = 5 oraz r = 5 ( bo a2 - a1 = 10 - 5 = 5)
Podstawiamy do wzoru a1 = 5 i r = 5.
an = a1 + (n - 1)r
an = 5 + (n - 1) · 5
an = 5 + 5n - 5
an = 5n
Wzór tego ciągu to an = 5n.
Przykład 4
Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego o wyrazach równych 2, 11, 20, 29.
Rozwiązanie
2, 11, 20, 29
Odczytujemy pierwszy wyraz ciągu.
2, 11, 20, 29
a1 = 2
Odczytujemy drugi wyraz ciągu, a2 = 11 i obliczamy różnicę r.
r = a2 - a1
r = 11 - 2
r = 9
Podstawiamy a1 = 2 oraz r = 9 do wzoru ogólnego na ciąg.
an = a1 + (n - 1)r
an = 2 + (n - 1) · 9
an = 2 + 9n - 9
an = 9n - 7
Wzór tego ciąguto an = 9n - 7.
Przykład 5
W ciągu arytmetycznym a1 = 1 oraz a5 = 13. Wyznacz dziesiąty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie
Zobaczmy najpierw czego szukamy. Zapiszmy a10.
an = a1 + (n - 1)r
a10 = a1 + (10 - 1)r
a10 = a1 + 9r
Wiemy, że a1 = 1.
a10 = 1 + 9r
Jeżeli wyznaczymy różnicę r to obliczymy wyraz dziesiąty.
Znamy wyrazy a1 = 1 oraz a5 = 13, możemy zapisać następujący wniosek :
a1 + 4r = a5
1 + 4r = 13
4r = 13 - 1
4r = 12 |:4
r = 3
Znamy różnicę , więc obliczymy a10.
a10 = 1 + 9r
a10 = 1 + 9 · 3
a10 = 1 + 27
a10 = 28
Przykład 6
Wyznacz wzór ciągu arytmetycznego, gdy a5 = 12 oraz a8 = 18.
Rozwiązanie
Aby podać wzór ciągu arytmetycznego musi znać jego pierwszy wyraz oraz różnicę.
Obliczam a1.
a5 + 3r = a8
12 + 3r = 18
3r = 18 - 12
3r = 6 | : 3
r = 2
Obliczam pierwszy wyraz ciągu, znając r = 2 oraz a5 = 12.
a1 + 4r = a5
a1 + 4 · 2 = 12
a1 + 8 = 12
a1 = 4
Wyznaczam wzór ciągu an = a1 + (n - 1)r.
an = a1 + (n - 1)r
an = 4 + (n - 1) · 2
an = 4 + 2n - 2
an = 2n + 2
Wzór tego ciągu to an = 2n + 2.
Przykład 7
Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego o wyrazach 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…
Naszkicuj wykres tego ciągu i podaj równanie prostej, w której się on zawiera.
Rozwiązanie
Aby wyznaczyć wzór ciągu arytmetycznego musimy znać pierwszy wyraz oraz różnicę.
Pierwszy wyraz to a1 = 1.
Obliczam różnicę ciągu.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...
a2 - a1 = 2 - 1 = 1, więc r = 1
Wyznaczam wzór ogólny ciągu.
an = a1 + (n - 1)r
an = 1 + (n - 1) · 1
an = 1 + n - 1
an = n
Rysuję wykres ciągu.
Wykres tego ciągu zawiera się w prostej y = x.