Jeżeli ciąg jest arytmetyczny to wówczas an+1 – an jest stałe i równe różnicy tego ciągu.
Przykład 1
Sprawdź czy ciąg an = 3n + 2 jest arytmetyczny.
Rozwiązanie
Wyznaczamy an+1.
an = 3n + 2
an+1 = 3(n + 1) + 2
an+1 = 3n + 3 + 2
an+1 = 3n + 5
Wyznaczamy różnicę an+1 – an.
an+1 - an = 3n + 5 - (3n + 2)
an+1 - an = 3n + 5 - 3n - 2
an+1 - an = 3
Otrzymaliśmy tylko liczbę (bez n), więc wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny o różnicy r = 3.
Przykład 2
Sprawdź czy ciąg an = n2 jest arytmetyczny.
Rozwiązanie
Wyznaczam an+1.
an = n2
an+1 = (n + 1)2
an+1 = n2 + 2n + 1
Obliczam różnicę an+1 - an.
an+1 - an = n2 + 2n + 1 - (n2)
an+1 - an = n2 + 2n + 1 - n2
an+1 - an = 2n + 1
Ten ciąg nie jest arytmetyczny, bo zostało “n”.
Przykład 3
Czy ciąg an = - 2n - 4 jest arytmetyczny?
Rozwiązanie
Wyznaczam an+1.
an+1 = - 2(n + 1) - 4
an+1 = - 2n - 2 - 4
an+1 = - 2n - 6
Obliczam różnicę an+1 - an.
an+1 - an = - 2n - 6 – (- 2n - 4)
an+1 - an = - 2n - 6 + 2n + 4
an+1 - an = - 2
Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy r = - 2.