Przykład 1
Rozwiąż nierówność 7x + 2 > 5x + 6. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
Rozwiązanie
7x + 2 > 5x + 6
Przenoszę wyrazy z x na lewą stronę a liczby na prawą.
7x - 5x > 6 - 2
Redukuję wyrażenia podobne.
2x > 4
Dzielę obie strony przez liczbę stojącą przy x czyli 2 .
Liczba 2 jest dodatnia, więc znaku nierówności nie zmieniam.
2x > 4 | : 2
x > 2
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie nierówności.
x
Przykład 2
Rozwiąż nierówność 3x – 4 > 5x + 12. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
Rozwiązanie
3x – 4 > 5x + 12
Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.
3x - 5x > 12 + 4
Redukuję wyrażenia podobne.
- 2x > 16
Dzielę obie strony przez liczbę stojącą przy x czyli - 2 .
Liczba - 2 jest ujemna, więc zmieniam znak nierówności z > na <.
- 2x > 16 | : (- 2)
x < - 8
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie nierówności.
x
Przykład 3
Rozwiąż nierówność 2(x + 4) - 35
Rozwiązanie
2(x + 4) - 35
Wymnażam pierwszy nawias przez liczbę 2 a drugi przez - 2.
2x + 8 - 35
Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.
2x - 3x + 2x
Redukuję wyrażenia podobne.
1x
x
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie nierówności.
x
Przykład 4
Rozwiąż nierówność - 5(x - 1) - (x + 2)
Rozwiązanie
- 5(x - 1) - (x + 2)
Wykonuję działania, aby pozbyć się nawiasów.
- 5x + 5 - x - 2
Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.
- 5x - x - 3x
Redukuję wyrażenia podobne.
- 9x
Dzielę obie strony przez liczbę stojącą przy x czyli - 9 . Liczba - 9 jest ujemna, więc zmieniam znak nierówności z
- 9x
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie nierówności.
x
Przykład 5
Rozwiąż nierówność
Rozwiązanie
Mnożę obie strony nierówności przez 4, aby pozbyć się mianowników.
2x + 2x - 1 > 8
Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.
2x + 2x > 8 + 1
Redukuję wyrażenia podobne.
4x > 9
Dzielę obie strony przez 4. Liczba 4 jest dodatnia, więc nie zmieniam znaku nierówności.
4x > 9 |: 4
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie.
x
Przykład 6
Rozwiąż nierówność
Rozwiązanie
Mnożę obie strony nierówności przez liczbę 6.
3(x + 3) - 2(2x + 5)
Opuszczam nawiasy wykonując odpowiednie działania.
3x + 9 - 4x - 10
Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.
3x - 4x - 12x - 12x
Redukuję wyrażenia podobne.
- 25x
Dzielę obie strony nierówności przez - 25. Zmieniam znak nierówności.
- 25x
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie.
x
Przykład 7 (matura maj 2013 r.)
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność
a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
Rozwiązanie
Wymnażam obie strony nierówności przez 12.
6x
6x
Przenoszę wyrazy z x na lewą a liczby na prawą stronę.
6x - 8x
Redukuję wyrazy podobne.
- 2x
Dzielę obie strony nierówności przez - 2.
- 2x
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Nanoszę na oś liczbową liczby podane w poleceniu i sprawdzam, która z liczb należących do przedziału jest najmniejsza.
Najmniejszą liczbą spełniającą tą nierówność jest - 1. Poprawna jest odpowiedź b.
Przykład 8 ( matura próbna marzec 2012 r.)
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność
(4+x)2 < (x - 4)(x + 4) jest :
a) - 5
b) - 4
c) - 3
d) - 2
Rozwiązanie
Wykorzystuję dwa wzory skróconego mnożenia.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)(a + b) = a2 - b2
(4 + x)2 < (x - 4)(x + 4)
16 + 8x + x2 < x2 - 16
Przenoszę wyrazy z x na lewą stronę a liczby na prawą.
8x + x2 - x2 < - 16 - 16
Redukuję wyrazy podobne.
8x < - 32
Obie strony nierówności dzielę przez 8.
8x < - 32 |: 8
x < - 4
Zaznaczam na osi liczbowej przedział x < - 4.
Nanoszę liczby podane w poleceniu i wybieram tą, która jest największa i jednocześnie należy do przedziału liczbowego.
Poprawna to odpowiedź a.
Przykład 9 (matura sierpień 2013r.)
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3 - x) > x
Rozwiązanie
Rozwiązujemy nierówność.
2 (3 - x) > x
6 - 2x > x
- 2x - x > - 6
- 3x > - 6 | : (- 3)
x < 2
Poprawną jest odpowiedź d.
3x - 2(x + 6). Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
3x - 2(x + 6)
3x - 2x - 12
- 12 - 8 + 35
15
15
3(x + 1) + 4. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
3(x + 1) + 4
3x + 3 + 4
3 + 4 - 5 + 2
4
na
.
4 | : (- 9)
. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
12x + 3(4x - 1)
12x + 12x - 3
- 3 + 10 - 9
- 2
- 2 | : (- 25)
jest :
4 · 2x + 3
8x + 3
3
3
3 | : (- 2)