Liczba spełniające dane równanie to inaczej rozwiązanie równania lub pierwiastek równania.
Liczba spełnia równanie, gdy podstawiona w miejsce niewiadomej czyni z danego równania równanie prawdziwe.
Przykład 1
Czy liczba 1 jest rozwiązaniem równania 2x + 4 = 3x - 6 ?
Rozwiązanie
2x + 4 = 3x - 6
L = 2x + 4 oraz P = 3x - 6
Podstawiamy w miejsce x liczbę 1 i wykonujemy obliczenia.
L = 2x + 4 = 2 · 1 + 4 = 2 + 4 = 6
P = 3x - 6 = 3 · 1 - 6 = 3 - 6 = - 3
Porównujemy otrzymane wyniki.
L = 6 oraz P = - 3
Liczba 1 nie spełnia tego równania.
Przykład 2
Czy liczba 1 jest rozwiązaniem równania 4x - 5 = - 5x + 13?
Rozwiązanie
4x - 5 = - 5x + 13
L = 4x - 5 oraz P = - 5x + 13
Podstawiamy w miejsce x liczbę 2 i wykonujemy obliczenia.
L = 4x - 5 = 4 · 2 - 5 = 8 - 5 = 3
P = - 5x + 13 = - 5 · 2 + 13 = - 10 + 13 = 3
Porównujemy otrzymane wyniki.
L = 3 oraz P = 3
L = P
3 = 3
Liczba 2 spełnia równanie.
Równania nazwiemy równoważnymi, gdy posiadają takie samo rozwiązanie.
Przykład 3
Sprawdź czy liczba 4 jest rozwiązaniem równań 2(x + 1) = 10
oraz 3x - 4 = x + 4. Czy są to równania równoważne?
Rozwiązanie
Sprawdzam czy liczba 4 jest rozwiązaniem pierwszego równania podstawiając w miejsce x liczbę 4.
L = 2(x + 1) = 2x + 2 = 2 · 4 + 2 = 8 + 2=10
P = 10
L = P
2 =2
Sprawdzam czy liczba 4 jest rozwiązaniem drugiego równania podstawiając w miejsce x liczbę 4.
3x - 4 = x + 4
L =3x - 4 = 3 · 4 - 4 = 12 - 4 = 8
P = x + 4 = 4 + 4 = 8
L = P
4 = 4
Liczba 4 spełnia oba równania. Są to równania równoważne.
Równanie, którego rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista nazywamy tożsamościowym.
Przykład 4
Czy równanie 3x + 6 = 3(x + 2) jest tożsamościowe?
Rozwiązanie
3x + 6 = 3(x + 2)
L = 3x + 6
P = 3(x + 2) = 3x + 6
3x + 6 = 3x + 6
L = P
Po obu stronach mamy to samo wyrażenie, więc jest to równanie tożsamościowe.
Zauważcie, że nieważne jaką liczbę podstawicie pod niewiadomą, to zawsze lewa strona będzie równa stronie prawej.
dla x = 1
3x + 6 = 3(x + 2)
3 · 1 + 6 = 3(1 + 2)
3 + 6 = 3 · 3
9 = 9
L = P
dla x = - 5
3x + 6 = 3(x + 2)
3 · (-5) + 6 = 3(- 5 + 2)
- 15 + 6 = 3 · (- 3)
- 9 = - 9
L = P
dla x =0
3x + 6 = 3(x + 2)
3 · 0 + 6 = 3(0 + 2)
0 + 6 = 3 · 2
6 = 6
L = P