Zanim zaczniecie uczyć się nierówności liniowych zapoznajcie się z działami równania liniowe oraz przedziały.
Nierówność od równania liniowego różni się znakiem między wyrażeniami.
Równania liniowe Nierówności liniowe
1. 2x + 4 = 0 1. 2x + 4 < 0
2. x + 6 = 4x – 1 2. x + 6 > 4x – 1
3. 2(x – 1) = 3(x + 2) 3. 2(x – 1) 
3(x + 2)
Znaki nierówności odczytujemy następująco :
x < 4 – iks jest mniejszy od 4
x > 4 – iks jest większy od 4
x ≥ 4 – iks jest większy bądź równy 4
x ≤ 4 – iks jest mniejszy bądź równy 4
Nierówności liniowe rozwiązujemy niemal identycznie jak równania liniowe. Różnica polega na tym, że gdy mnożymy lub dzielimy nierówność liniową przez liczbę ujemną to zmieniamy znak nierówności:
z > na <
z < na >
z ≥ na ≤
z ≤ na ≥
Przykład 1
Podziel obie strony nierówności – 2x > 4 przez liczbę – 2 .
Rozwiązanie
Dzielę obie strony przez -2 (liczbę ujemną), więc znak „>” zmieniam na „<„.
-2x > 4 |: (- 2)
x < – 2
Przykład 2
Pomnóż obie strony nierówności x – 3 < 5 przez liczbę – 4.
Rozwiązanie
Mnożę obie strony przez liczbę ujemną, więc zmieniam znak z „<” na „>”.
x – 3 < 5 | · (- 4)
– 4x + 12 > – 20
Przykład 1
Rozwiąż nierówność 7x + 2 > 5x + 6. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
Rozwiązanie
7x + 2 > 5x + 6
Przenoszę wyrazy z x na lewą stronę a liczby na prawą.
7x – 5x > 6 – 2
Redukuję wyrażenia podobne.
2x > 4
Dzielę obie strony przez liczbę stojącą przy x czyli 2 .
Liczba 2 jest dodatnia, więc znaku nierówności nie zmieniam.
2x > 4 | : 2
x > 2
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie nierówności : x ∈ 
Przykład 2
Rozwiąż nierówność 3x – 4 > 5x + 12. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
Rozwiązanie
3x – 4 > 5x + 12
Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.
3x – 5x > 12 + 4
Redukuję wyrażenia podobne.
– 2x > 16
Dzielę obie strony przez liczbę stojącą przy x czyli – 2 .
Liczba – 2 jest ujemna, więc zmieniam znak nierówności z > na <.
– 2x > 16 | : (- 2)
x < – 8
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie nierówności : x ∈ 
Przykład 3
Rozwiąż nierówność 2(x + 4) – 35 ≤ 3x – 2(x + 6). Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
Rozwiązanie
2(x + 4) – 35 ≤ 3x – 2(x + 6)
Wymnażam pierwszy nawias przez liczbę 2 a drugi przez – 2.
2x + 8 – 35 ≤ 3x – 2x – 12
Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.
2x – 3x + 2x ≤ – 12 – 8 + 35
Redukuję wyrażenia podobne.
1x ≤ 15
x ≤ 15
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie nierówności : x ∈ 
Przykład 4
Rozwiąż nierówność – 5(x – 1) – (x + 2) ≤ 3(x + 1) + 4. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
Rozwiązanie
– 5(x – 1) – (x + 2) ≤ 3(x + 1) + 4
Wykonuję działania, aby pozbyć się nawiasów.
– 5x + 5 – x – 2 ≤ 3x + 3 + 4
Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.
– 5x – x – 3x ≤ 3 + 4 – 5 + 2
Redukuję wyrażenia podobne.
– 9x ≤ 4
Dzielę obie strony przez liczbę stojącą przy x czyli – 9 . Liczba – 9 jest ujemna, więc zmieniam znak nierówności z ≤ na ≥ .
– 9x ≤ 4 | : (- 9)
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie nierówności : x ∈ 
Przykład 5
Rozwiąż nierówność 
. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
Rozwiązanie
Mnożę obie strony nierówności przez 4, aby pozbyć się mianowników.
2x + 2x – 1 > 8
Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.
2x + 2x > 8 + 1
Redukuję wyrażenia podobne.
4x > 9
Dzielę obie strony przez 4. Liczba 4 jest dodatnia, więc nie zmieniam znaku nierówności.
4x > 9 |: 4
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie : x ∈ 
Przykład 6
Rozwiąż nierówność 
. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.
Rozwiązanie
Mnożę obie strony nierówności przez liczbę 6.
3(x + 3) – 2(2x + 5) 12x + 3(4x – 1)
Opuszczam nawiasy wykonując odpowiednie działania.
3x + 9 – 4x – 10 ≤ 12x + 12x – 3
Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.
3x – 4x – 12x – 12x ≤ – 3 + 10 – 9
Redukuję wyrażenia podobne.
– 25x ≤ – 2
Dzielę obie strony nierówności przez – 25. Zmieniam znak nierówności.
– 25x ≤ – 2 | : (- 25)
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Odczytuję rozwiązanie : x ∈ 
Przykład 7 (matura maj 2013 r.)
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 
jest :
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
Rozwiązanie
Wymnażam obie strony nierówności przez 12.
6x ≤ 4 · 2x + 3
6x ≤ 8x + 3
Przenoszę wyrazy z x na lewą a liczby na prawą stronę.
6x – 8x ≤ 3
Redukuję wyrazy podobne.
– 2x ≤ 3
Dzielę obie strony nierówności przez – 2.
– 2x ≤ 3 | : (- 2)
Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.
Nanoszę na oś liczbową liczby podane w poleceniu i sprawdzam, która z liczb należących do przedziału jest najmniejsza.
Najmniejszą liczbą spełniającą tą nierówność jest – 1.
Poprawna jest odpowiedź b.
Przykład 8 ( matura próbna marzec 2012 r.)
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność
(4+x)2 < (x – 4)(x + 4) jest :
a) – 5
b) – 4
c) – 3
d) – 2
Rozwiązanie
Wykorzystuję dwa wzory skróconego mnożenia.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)(a + b) = a2 – b2
(4 + x)2 < (x – 4)(x + 4)
16 + 8x + x2 < x2 – 16
Przenoszę wyrazy z x na lewą stronę a liczby na prawą.
8x + x2 – x2 < – 16 – 16
Redukuję wyrazy podobne.
8x < – 32
Obie strony nierówności dzielę przez 8.
8x < – 32 |: 8
x < – 4
Zaznaczam na osi liczbowej przedział x < – 4.
Nanoszę liczby podane w poleceniu i wybieram tą, która jest największa i jednocześnie należy do przedziału liczbowego.
Poprawna to odpowiedź a.
Przykład 9 (matura sierpień 2013r.)
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3 – x) > x
Rozwiązanie
Rozwiązujemy nierówność.
2 (3 – x) > x
6 – 2x > x
– 2x – x > – 6
– 3x > – 6 | : (- 3)
x < 2
Poprawną jest odpowiedź d.