Wartość bezwzględną z liczby x oznaczamy jako |x|.

Inaczej nazywamy ją modułem z iksa.

Wartość bezwzględna liczby dodatniej jest tą samą liczbą.

1.|5|= 5

2.|1| = 1

3.

4.

5.

6.

Wartość bezwzględna z zera wynosi zero.

|0| = 0

Wartość bezwzględna z liczby ujemnej jest liczbą przeciwną.

1. |- 5| = 5

2. |- 4| = 4

3.

4.

5.

6.

Przykład 1

Opuść wartość bezwzględną .

Rozwiązanie

Sprawdzamy czy liczba jest dodatnia czy ujemna.

Liczba jest ujemna, więc opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy znaki.

Przykład 2

Opuść wartość bezwzględną .

Rozwiązanie

Sprawdzamy czy liczba jest dodatnia czy ujemna.

Liczba jest dodatnia, więc opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaków.

Przykład 3

Opuść wartość bezwzględną .

Rozwiązanie

Sprawdzamy czy liczba jest dodatnia czy ujemna.

Liczba jest ujemna, więc opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy znaki.

Wykres wartości bezwzględnej przypomina kształtem literę „V”.
Przeanalizujmy sposób rysowania wykresów na kilku przykładach.

Przykład 1

Narysuj wykres funkcji f(x) = |x|.

Rozwiązanie

Sporządzamy tabelkę (iksy wybieramy dowolne).

Obliczam igreki i wpisuję je do tabelki.

f(x) = |x|

f(- 2) = |- 2| = 2

f(- 1) = |- 1| = 1

f(0) = |0| = 0

f(1) = |1| = 1

f(2) = |2| = 2

Zaznaczam punkty w układzie współrzędnych.

Łączę punkty i otrzymuję wykres funkcji.

Przykład 2

Narysuj wykres funkcji f(x) =  .

Rozwiązanie

Sporządzamy tabelkę (iksy wybieramy dowolne).

Obliczam igreki i wpisuję je do tabelki.

Zaznaczam punkty w układzie współrzędnych.

Łączę punkty i otrzymuję wykres funkcji.

UWAGA! gdy wzór funkcji chcemy przesunąć o wektor korzystamy ze wzoru :

                                                 f(x) = a|x + b| + c

i postępujemy następująco :

– rysujemy wykres funkcji f(x) = a|x|

– przesuwamy wykres o wektor [- b, c]

Przykład 3

Narysuj wykres f(x) = |x| + 1 .

Rozwiązanie

1. Korzystamy ze wzoru f(x) = a|x + b| + c.

2. Rysujemy wykres funkcji f(x) = |x|.

3. Przesuwamy wykres o wektor [0, 1] czyli 1 jednostkę do góry.

Przykład 4

Narysuj wykres funkcji f(x) = |x| – 2.

Rozwiązanie

1. Rysujemy wykres funkcji f(x) = |x|.

2. Przesuwamy wykres o wektor [0, – 2] czyli 2 jednostki do dołu.

Przykład 5

Narysuj wykres funkcji f(x) = |x – 1|.

Rozwiązanie

1. Rysujemy wykres funkcji f(x) = |x|.

2. Przesuwamy wykres o wektor [1, 0] czyli 1 jednostkę w prawo.

Przykład 6

Narysuj wykres funkcji f(x)=|x + 2|.

Rozwiązanie

1. Rysujemy wykres funkcji f(x)=|x|.

2. Przesuwamy wykres funkcji o wektor [- 2, 0] czyli 2 jednostki w lewo.

Przykład 7

Narysuj wykres funkcji f(x) = |x + 2| – 3.

Rozwiązanie

1. Rysujemy wykres funkcji f(x) = |x|.

2. Przesuwamy wykres funkcji o wektor [- 2, – 3] czyli 2 jednostki w lewo i 3 jednostki do dołu.

Przykład 1

Rozwiąż równanie |x| = 2.

Wartość bezwzględna z – 2 oraz 2 jest równa 2, więc

   |x| = 2

x = 2    lub    x = – 2

Przykład 2

Rozwiąż równanie |x| = 4

Wartość bezwzględna z – 4 oraz 4 jest równa 4, więc

   |x| = 4

x = 4    lub    x = – 4

Przykład 3

Rozwiąż równanie |x + 2| = 4.

Wartość bezwzględna z – 4 oraz 4 wynosi 4, więc

   |x + 2| = 4

x + 2 = 4    lub    x + 2 = – 4

x = 4 – 2    lub    x = – 4 – 2

x = 2    lub    x = – 6

Przykład 4

Rozwiąż równanie |x + 3| = 0.

Wartość bezwzględna tylko z 0 wynosi 0, więc

|x + 3| = 0

x + 3 = 0

x = 0 – 3

x = – 3

Przykład 5

Rozwiąż równanie |x + 1| = – 3

Wartość bezwzględna nie może być ujemna, więc równanie nie posiada rozwiązań.

Uwaga ! Zapamiętajcie wzór : 

Przykład 6

Rozwiąż równanie .

Korzystam ze wzoru , więc zamiast zapisuję |x+1|.

    |x + 1| = 4

x + 1 = 4   lub   x + 1 = – 4

x = 4 – 1   lub   x = – 4 – 1

x = 3   lub   x = – 5