Równania liniowe - wstęp
Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie postaci ax + b = 0, gdy a, b ∈ R.
Pierwiastkiem (rozwiązaniem) równania liniowego nazywamy liczbę, która podstawiona w miejsce niewiadomej da nam równość prawdziwą.
Równanie liniowe złożone jest z dwóch wyrażeń algebraicznych połączonych znakiem równości.
Równania posiadają dwie strony (prawą i lewą).
Rozwiązując dowolne równanie, doprowadzamy je do takiej postaci, aby po jednej stronie (najczęściej lewej) była tylko niewiadoma a po drugiej liczba.
Należy pamiętać, że przenosząc wyrazy z jednej strony na drugą zmieniamy znaki na przeciwne.
Przykład 1
Przenieś wyrazy z iksem na lewą stronę a liczby na prawą i zredukuj wyrazy podobne.
2x + 4 = 3x – 1
2x – 3x = – 1 – 4
– 1x = – 5
– x = – 5
Przykład 2
Przenieś wyrazy z iksem na lewą stronę a liczby na prawą i zredukuj wyrazy podobne.
– 5 – 6x + 1 = 2 – 4x
– 6x + 4x = 2 + 5 – 1
– 2x = 6
Przykład 3
Rozwiąż równanie 3x + 4 = 2x – 2.
Rozwiązanie
Przenosimy wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą pamiętając o zmianie znaku.
3x + 4 = 2x – 2
3x – 2x = – 2 – 4
Redukujemy wyrazy podobne.
1x = – 6
x = – 6
Rozwiązaniem równania jest liczba x = – 6.
Przykład 4
Rozwiąż równanie 6x – 5 = 2x + 3.
Rozwiązanie
Przenosimy wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą pamiętając o zmianie znaku.
6x – 5 = 2x + 3
6x – 2x = 3 + 5
Redukujemy wyrazy podobne.
4x = 8
Zauważcie, że przed iksem stoi liczba 4. Obie strony należy podzielić przez 4, aby po lewej stronie został sam x.
4x = 8 |: 4
x = 2
Rozwiązaniem równania jest x = 2.
Przykład 5
Rozwiąż równanie 2(x – 1) = 4(x + 3) + 3.
Rozwiązanie
Doprowadzamy równanie do prostszej postaci (opuszczamy nawiasy).
2 · (x – 1) = 4 · (x + 3) + 3
2x – 2 = 4x + 12 + 3
Przenosimy wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą pamiętając o zmianie znaku.
2x – 4x = 12 + 3 + 2
Redukujemy wyrazy podobne.
– 2x = 17
Obie strony dzielimy przez – 2, aby po lewej stronie został sam x.
– 2x = 17 | : (-2)
x = – 8,5
Rozwiązaniem tego równania jest liczba x = – 8,5.
Przykład 6
Rozwiąż równanie – (x + 4) = x + 5(x – 1).
Rozwiązanie
Doprowadzamy równanie do prostszej postaci (opuszczamy nawiasy).
– (x + 4) = x + 5 · (x – 1)
– x – 4 = x + 5x – 5
Redukujemy wyrazy podobne. Obie strony dzielimy przez – 7.
– x – x – 5x = – 5 + 4
– 7x = – 1 |: (- 7)
Rozwiązaniem tego równania jest liczba .
Przykład 7
Rozwiąż równanie 
.
Rozwiązanie
Korzystamy z proporcji wymnażając wyrażenia „na krzyż”.
2 · (2x – 1) = 5 · (4x – 2)
Doprowadzamy równanie do prostszej postaci (opuszczamy nawiasy).
4x – 2 = 20x – 10
4x – 20x = – 10 + 2
Redukujemy wyrazy podobne. Obie strony dzielimy przez – 16.
– 16x = – 8
– 16x = – 8 | : (- 16)
Rozwiązaniem tego równania jest liczba .
Przykład 8
Rozwiąż równanie 
.
Rozwiązanie
Wymnażam obie strony równania przez wspólny mianownik dla liczb 2, 5 oraz 3.
15 · (x + 1) = 6 · (2x – 1) + 10 · (3x + 4)
15x + 15 = 12x – 6 + 30x + 40
Przenoszę wyrazy z x na lewą stronę a liczby na prawą.
15x – 12x – 30x = – 6 + 40 – 15
Redukuję wyrazy podobne.
– 27x = 19
Dzielę obie strony przez -27.
– 27x = 19 | : (- 27)
Rozwiązaniem tego równania jest liczba .
Przykład 9
Rozwiązaniem równania 2(x + 1) = 3(x + 4) jest liczba:
a) 10 b) – 4 c) 4 d) – 10
Rozwiązanie
2x + 2 = 3x + 12
2x – 3x = 12 – 2
– x = 10 |: (- 1)
x = – 10
Poprawną jest odpowiedź d.
Przykład 10
Która z liczb jest pierwiastkiem równania 3(x – 1) = -(x + 2) ?
a) 4 b) – 4 c) 
d) 
Rozwiązanie
3x – 3 = – x – 2
3x + x = – 2 + 3
4x = 1 |: 4
Poprawną jest odpowiedź c.
Przykład 11
Która z liczb jest rozwiązaniem równania
2x – 4 = 0 · (2x + 3) – 2(x + 2) ?
a) 4 b) 0 c) 1 d) – 2
Rozwiązanie
2x – 4 = 0 – 2(x + 2)
2x – 4 = 0 – 2x – 4
2x + 2x = 0 – 4 + 4
4x = 0 | : 4
x = 0
Przykład 12
Rozwiązanie równania 3(x – 1) = 2(x + 5) należy do przedziału:
a) 
b) 
c) <-5, 13)
d) 
Rozwiązanie
3(x – 1) = 2(x + 5)
3x – 3 = 2x + 10
3x – 2x = 10 + 3
x = 13
Przykład 13
Rozwiązaniem równania 
jest liczba.
a) – 1 b) 1 c) 2 d) – 2
Rozwiązanie
3 · (2x – 1) = 1 · (x + 2)
6x – 3 = x + 2
6x – x = 2 + 3
5x = 5 |: 5
x = 1
Przykład 14
Rozwiązaniem równania 
jest liczba:
a) 
b) 
c) 
d) 
Rozwiązanie
1 · (x + 1) = 4 · (2x + 3)
x + 1 = 8x + 12
x – 8x = 12 – 1
– 7x = 11 |: (- 7)
Poprawną odpowiedzią jest a.
Rodzaje równań liniowych
Równania liniowe możemy podzielić za względu na ilość rozwiązań na:
Oznaczone
Równanie takie ma jedno rozwiązanie.
Przykłady
1. 4x + 2 = 6x – 6
4x – 6x = – 6 – 2
– 2x = – 8 |: (-2)
x = 4
2. 2x – 1 = 4
2x = 4 + 1
2x = 5 |:2
x = 2,5
Nieoznaczone
Takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Przykłady
1. 3x = 3x
2. 2x – 5 = 2x – 5
3. 2(x + 1) = 2x + 2
Sprzeczne
Jest to równanie, które nie posiada rozwiązań.
Przykłady
1. x = x + 3
2. x + 1 = x + 5
3. 2(x + 2) = 2x – 5
4. 5 – 3x = – 3x
Przykład 1
Podaj liczbę rozwiązań równania i określ jaki to typ równania.
2(x + 1) = 3(x + 1) – 4
2x + 2 = 3x + 3 – 4
2x – 3x = 3 – 4 – 2
– x = – 3 | : (- 1)
x = 3
To równanie posiada jedno rozwiązanie x = 3, więc jest równaniem oznaczonym.
Przykład 2
Podaj liczbę rozwiązań równania i określ jaki to typ równania.
2x + 4 = 3(x + 1) – x
2x + 4 = 3x + 3 – x
2x – 3x + x = 3 – 4
0 = – 1
To równanie nie posiada rozwiązań, jest równaniem sprzecznym.
Sprawdzanie czy liczba jest rozwiązaniem równania
Liczba spełniające dane równanie to inaczej rozwiązanie równania lub pierwiastek równania.
Liczba spełnia równanie, gdy podstawiona w miejsce niewiadomej czyni z danego równania równanie prawdziwe.
Przykład 1
Czy liczba 1 jest rozwiązaniem równania 2x + 4 = 3x – 6 ?
Rozwiązanie
2x + 4 = 3x – 6
L = 2x + 4 oraz P = 3x – 6
Podstawiamy w miejsce x liczbę 1 i wykonujemy obliczenia.
L = 2x + 4 = 2 · 1 + 4 = 2 + 4 = 6
P = 3x – 6 = 3 · 1 – 6 = 3 – 6 = – 3
Porównujemy otrzymane wyniki.
L = 6 oraz P = – 3
L ≠ P
Liczba 1 nie spełnia tego równania.
Przykład 2
Czy liczba 1 jest rozwiązaniem równania 4x – 5 = – 5x + 13?
Rozwiązanie
4x – 5 = – 5x + 13
L = 4x – 5 oraz P = – 5x + 13
Podstawiamy w miejsce x liczbę 2 i wykonujemy obliczenia.
L = 4x – 5 = 4 · 2 – 5 = 8 – 5 = 3
P = – 5x + 13 = – 5 · 2 + 13 = – 10 + 13 = 3
Porównujemy otrzymane wyniki.
L = 3 oraz P = 3
L = P
3 = 3
Odp. Liczba 2 spełnia równanie.
Równania nazwiemy równoważnymi, gdy posiadają takie samo rozwiązanie.
Przykład 3
Sprawdź czy liczba 4 jest rozwiązaniem równań 2(x + 1) = 10
oraz 3x – 4 = x + 4. Czy są to równania równoważne?
Rozwiązanie
Sprawdzam czy liczba 4 jest rozwiązaniem pierwszego równania podstawiając w miejsce x liczbę 4.
L = 2(x + 1) = 2x + 2 = 2 · 4 + 2 = 8 + 2=10
P = 10
L = P
2 =2
Sprawdzam czy liczba 4 jest rozwiązaniem drugiego równania podstawiając w miejsce x liczbę 4.
3x – 4 = x + 4
L =3x – 4 = 3 · 4 – 4 = 12 – 4 = 8
P = x + 4 = 4 + 4 = 8
L = P
4 = 4
Liczba 4 spełnia oba równania. Są to równania równoważne.
Równanie, którego rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista nazywamy tożsamościowym.
Przykład 4
Czy równanie 3x + 6 = 3(x + 2) jest tożsamościowe?
Rozwiązanie
3x + 6 = 3(x + 2)
L = 3x + 6
P = 3(x + 2) = 3x + 6
3x + 6 = 3x + 6
Po obu stronach mamy to samo wyrażenie, więc jest to równanie tożsamościowe.
Zauważcie, że nieważne jaką liczbę podstawicie pod niewiadomą, to zawsze lewa strona będzie równa stronie prawej.
np.
dla x = 1
3x + 6 = 3(x + 2)
3 · 1 + 6 = 3(1 + 2)
3 + 6 = 3 · 3
9 = 9
L = P
dla x = – 5
3x + 6 = 3(x + 2)
3 · (-5) + 6 = 3(- 5 + 2)
– 15 + 6 = 3 · (- 3)
– 9 = – 9
L = P
dla x =0
3x + 6 = 3(x + 2)
3 · 0 + 6 = 3(0 + 2)
0 + 6 = 3 · 2
6 = 6
L = P
Równania liniowe - zadania tekstowe
Zadanie 1
Zapisz za pomocą równania zdanie: „Liczba o 4 mniejsza od liczby x jest równa 34”.
Zadanie 2
Zapisz za pomocą równania zdanie: „Liczba o 7 większa od liczby x jest równa 10”.
Zadanie 3
Zapisz za pomocą równania zdanie: „Liczba 4 razy większa od liczby x jest równa 23”.
Zadanie 4
Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 15. Wyznacz te liczby.
Zadanie 5
Kasia jest o 10 lat starsza od swojej siostry Ani. 5 lat temu Kasia była 2 razy starsza od Ani. Ile lat ma obecnie każda z nich?
Zadanie 6
W koszu znajdują się jabłka, gruszki i brzoskwinie. Razem wszystkich owoców jest 80. Gruszek jest dwa razy więcej niż jabłek, a brzoskwiń jest o 5 więcej niż gruszek. Ile jabłek, gruszek i brzoskwiń jest w koszu?
Zadanie 7
Pewna liczba dwucyfrowa ma dwa razy większą cyfrę jedności, od cyfry dziesiątek. Gdybyśmy w tej liczbie przestawili cyfry, otrzymalibyśmy wartość o 18 większą. Znajdź tą liczbę.
Zadanie 8
Deska o długości 200 cm została złamana na dwie części. Stosunek długości pierwszej części do drugiej, wynosi 3 : 5. Oblicz długości obu części.
Zadanie 9
Dawid jest 5 razy młodszy od mamy. Suma lat Dawida i mamy wynosi 48 lat. Ile lat ma Dawid?
Zadanie 10
Pitagoras zapytany, ilu ma uczniów odpowiedział: połowa studiuje matematykę, czwarta część fizykę, siódma część uczy się milczenia, ponadto mam jeszcze trzech uczniów. Ilu uczniów miał Pitagoras?
Zdanie 11
Suma trzech liczb wynosi 44. Znajdź te liczby, jeżeli wiadomo, że druga jest 3 razy większa od pierwszej, a trzecia jest o 2 większa od drugiej.
Zadanie 12
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych jest dwa razy większy od drugiego. Oblicz miary tych kątów.
Zadanie 13
Działka ma kształt prostokąta, którego dłuższy bok ma o 15 m więcej niż krótszy, a obwód ma 70 m. Znajdź boki tej działki.
Zadanie 14
Średnia zarobków Wojtka za ostatni kwartał wyniosła 1800 zł. Ile Wojtek zarobił w grudniu, jeśli w październiku zarobił 1630 zł, a w listopadzie 2120 zł.
Zadanie 15
Ojciec ma 45 lat, a synowie 10 i 8 lat. Po ilu latach ojciec będzie miał tyle lat, co obaj synowie razem?
Zadanie 16
W pewnej liczbie dwucyfrowej cyfra jedności jest o 2 większa od cyfry dziesiątek. Jeżeli od tej liczby odejmiemy potrojoną cyfrę dziesiątek, to otrzymamy 34. Znajdź tę liczbę.
Zadanie 17
Turysta w ciągu 3 dni przejechał 684 km. Pierwszego dnia przejechał 2 razy więcej niż drugiego, a trzeciego o 20% mniej niż drugiego. Ile km przejechał trzeciego dnia?
Zadanie 18
Ania i Staszek zbierali grzyby. Staszek uzbierał 3 razy więcej niż Ania. Gdyby oddał Ani 15 grzybów, to oboje mieliby tyle samo.
Ile grzybów ma Ania, a ile Staszek?