Równanie kwadratowe jest równaniem, w którym niewiadoma znajduje się w drugiej potędze (np. x2, a2, y2…).
Przykłady równań kwadratowych
1. x2 + 2x + 1 = 0
2. x2 + 4x= 0
3. x2 = 5
4. x = x2
5. x2 = 4
Aby rozwiązać równanie kwadratowe należy znaleźć takie liczby, które spełniają to równanie.
Równanie kwadratowe może posiadać:
– jedno rozwiązanie
– dwa rozwiązania
– zero rozwiązań
Poniżej zamieszczam kilka przykładów równań kwadratowych wraz z ich rozwiązaniami.
Metody wykorzystane do ich rozwiązania wytłumaczę na kolejnych lekcjach, więc nie martwcie się jeżeli w tym momencie nie będą dla was zrozumiałe.
Przykład 1
Rozwiąż równanie x2 = 2x.
Rozwiązanie
x2 = 2x
Przenoszę wszystkie wyrazy na lewą stronę i przyrównuję do 0.
x2 – 2x = 0
Wyłączam wspólny czynnik (x) przed nawias.
x(x – 2) = 0
Przyrównuję oba czynniki do 0.
x = 0 lub x – 2 = 0
x = 0 lub x = 2
Równanie to posiada dwa rozwiązania x = 0 lub x = 2.
Przykład 2
Rozwiąż równanie x2 + 4x = – 4.
Rozwiązanie
x2 + 4x = – 4
Przenoszę wszystkie wyrazy na lewą stronę.
x2 + 4x + 4 = 0
Korzystam ze wzoru skróconego mnożenia (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)2 = 0
x + 2 = 0
x = – 2
Równanie posiada jedno rozwiązanie x = – 2.
Przykład 3
Rozwiąż równanie 2x2 + 6 = 0.
Rozwiązanie
Przenosimy liczbę 6 na prawą stronę.
2x2 = 0 – 6
2x2 = – 6
Dzielimy równanie przez 2.
2x2 = – 6 | : 2
x2 = – 3
Równanie to nie posiada rozwiązań. Żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie da liczby ujemnej.
Pierwszy typ równania, który omówimy wygląda następująco:
x2 = 0
a≠0, b = 0, c = 0
Takie równanie posiada jedno rozwiązanie x = 0.
Przykład 1
Rozwiąż równanie 2x2 = 0.
Rozwiązanie
Dzielę obie strony równania przez liczbę przy x².
2x² = 0 | : 2
x² = 0
x = 0
Odp. Równanie posiada jedno rozwiązanie x = 0.
Przykład 2
Rozwiąż równanie 2x2 = 3x².
Rozwiązanie
Przenoszę wszystkie wyrazy ze strony prawej na stronę lewą, pamiętając o zmianie znaku. Redukuję wyrazy podobne.
2x2 = 3x²
2x2 – 3x² = 0
-x² = 0
Dzielę obie strony równania przez liczbę znajdującą się przy x².
-x² = 0 | : (-1)
x² = 0
x = 0
Odp. Równanie posiada jedno rozwiązanie x = 0.
Drugi typ równań niezupełnych, który omówimy wygląda następująco:
x2 = k
a ≠ 0, b = 0, c ≠0
Takie równanie, w zależności od liczby k, może mieć:
– jedno rozwiązanie x = 0, gdy k = 0 (ten przypadek omówiliśmy na poprzedniej lekcji)
– dwa rozwiązania x1 = √k lub x2= – √k , gdy k > 0
– brak rozwiązań, gdy k < 0
Przykład 1
Rozwiąż równanie x2 = 9.
Rozwiązanie
Po lewej stronie mamy tylko x² a po prawej liczbę 9.
Zgodnie z tym, co zapisałam powyżej wiemy, że k = 9, zatem k>0, więc równanie będzie posiadało 2 rozwiązania postaci: x1 = √k lub x2= – √k.
Rozwiążmy to równanie.
x2 = 9
Odp. Równanie posiada 2 rozwiązania x1 = 3 lub x2 = – 3.
Przykład 2
Rozwiąż równanie x2 = – 9.
Rozwiązanie
Po lewej stronie mamy x², po prawej liczbę ujemną, zatem k = – 9, więc k < 0.
Takie równanie nie posiada rozwiązań, gdyż żadna liczba podniesiona do kwadratu nie da liczby ujemnej.
Odp. Równanie nie posiada rozwiązań.
Przykład 3
Rozwiąż równanie x2 – 1 = 63.
Rozwiązanie
Przenosimy liczbę -1 na prawą stronę i redukujemy wyrazy podobne.
x2 = 63 + 1
x2 = 64
Mamy równanie tego samego typu co w przykładzie 1.
Rozwiążmy je.
x2 = 64
x1 = 8 lub x2 = – 8
Odp. Równanie posiada dwa rozwiązania x1 = 8 lub x2 = – 8.
Drugi typ równań kwadratowych to :
x2 + bx = 0
a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0
Takie równanie najwygodniej rozwiązać wyłączając wspólny czynnik (x) przed nawias.
Spójrzcie na schemat :
x2 + bx = 0
x(x + b) = 0
Przyrównujemy czynniki do 0 i rozwiązujemy otrzymane równania liniowe.
x = 0 lub x + b = 0
x = 0 lub x = – b
Odp. Równanie ma dwa rozwiązania x1 = 0 lub x2 = – b.
Przykład 1
Rozwiąż równanie x2 + x = 0.
Rozwiązanie
Wyłączamy iksa przed nawias.
x2 + x = 0
x(x + 1) = 0
Przyrównujemy oba czynniki do 0 i rozwiązujemy otrzymane równania.
x(x + 1) = 0
x = 0 lub x + 1 = 0
x = 0 lub x = 0 – 1
x = 0 lub x = – 1
Odp. Równanie to posiada dwa rozwiązania x1 = 0 lub x2 = – 1.
Przykład 2
Rozwiąż równanie x2 = 3x.
Rozwiązanie
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, aby uzyskać równanie postaci ax2 + bx = 0.
x2 – 3x = 0
Wyłączamy x przed nawias.
x(x – 3) = 0
Przyrównujemy oba czynniki do 0 i rozwiązujemy otrzymane równania.
x = 0 lub x – 3 = 0
x = 0 lub x = 0 + 3
x = 0 lub x = 3
Odp. Równanie posiada dwa rozwiązania x1 = 0 lub x2 = 3.
Przykład 3
Rozwiąż równanie 4x2 + 5x = – 3x.
Rozwiązanie
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę.
4x2 + 5x = – 3x
4x2 + 5x + 3x = 0
Redukujemy wyrażenia podobne i porządkujemy równanie (najpierw wyrazy z x2 a później z x).
4x2 + 8x = 0
Wyłączamy x przed nawias.
x(4x + 8) = 0
Przyrównujemy czynniki do 0 i rozwiązujemy otrzymane równania.
x = 0 lub 4x + 8 = 0
x = 0 lub 4x = – 8 | : 4
x = 0 lub x = – 2
Odp. Równanie posiada dwa rozwiązania x1 = 0 lub x2 = – 2.
W równaniu kwadratowym zupełnym a ≠ 0, b ≠ 0 oraz c ≠ 0.
Takie równania najczęściej rozwiązujemy wykorzystując deltę (Δ).
Deltę nazywamy inaczej wyróżnikiem trójmianu kwadratowego i oznaczamy symbolem Δ .
Mając równanie kwadratowe postaci ax2 + bx + c = 0, deltę obliczamy ze wzoru:
Δ = b2 – 4ac
a – liczba przy x2
b – liczba przy x
c – liczba
Przykład 1
Wyznacz deltę równania 2x2 – 5x + 4 = 0.
Rozwiązanie
Wypisujemy współczynniki liczbowe.
2x2 – 5x + 4 = 0
a = 2
b = – 5
c = 4
Obliczamy deltę.
Δ = b2 – 4ac
Δ = (-5)2 – 4 · 2 · 4
Δ = 25 – 32
Δ = – 7
Przykład 2
Wyznacz deltę równania x2 – 4x + 1 = 0.
Rozwiązanie
Wypisujemy współczynniki liczbowe :
x2 – 4x + 1 = 0
1x2 – 4x + 1 = 0
a = 1
b = – 4
c = 1
Obliczamy deltę.
Δ= b2 – 4ac
Δ= (- 4)2 – 4 · 1 · 1
Δ= 16 – 4
Δ= 12
Przykład 3
Oblicz deltę równania 6x2 = 0.
Rozwiązanie
Wypisuję współczynniki liczbowe.
6x2 = 0
6x2 + 0x + 0 = 0
a = 6
b = 0
c = 0
Obliczam deltę.
Δ = 02 – 4 · 6 · 0
Δ= 0 – 0
Δ= 0
Liczba rozwiązań równania zależy od delty.
– gdy Δ > 0 to równanie ma dwa rozwiązania
– gdy Δ = 0 to równanie ma jedno rozwiązanie
– gdy Δ < 0 to równanie nie posiada rozwiązań
Spójrzmy teraz na kilka przykładów równań rozwiązanych przy pomocy delty.
Przykład 1
Rozwiąż równanie x2 + 2x – 3 = 0.
Rozwiązanie
Wyznaczam deltę.
x2 + 2x – 3 = 0
a = 1, b = 2, c = – 3
Δ= b2 – 4ac
Δ= 22 – 4 · 1 · (-3)
Δ= 4 + 12
Δ= 16
Skoro Δ > 0 to wiemy, że to równanie ma dwa rozwiązania.
Wyznaczam je.
x1 = – 3 lub x2 = 1.
Odp. Równanie posiada dwa rozwiązania x1 = – 3 lub x2 = 1.
Przykład 2
Rozwiąż równanie x2 – 2x + 1 = 0.
Rozwiązanie
Wyznaczam deltę.
x2 – 2x + 1 = 0
a = 1, b= – 2, c = 1
Δ= (-2)2 – 4 · 1 · 1
Δ= 4 – 4
Δ= 0
Skoro Δ = 0 to wiemy, że równanie ma jedno rozwiązanie.
x = 1
Odp. Równanie posiada jedno rozwiązanie x = 1.
Przykład 3
Rozwiąż równanie 2x2 – 4x + 8 = 0.
Rozwiązanie
2x2 – 4x + 8 = 0
a = 2, b = – 4, c = 8
Wyznaczam deltę.
Δ= b2 – 4ac
Δ= (-4)2 – 4 · 2 · 8
Δ= 16 – 64
Δ= – 48
Odp.Delta jest ujemna, więc równanie nie posiada rozwiązań.
Przykład 4
Rozwiąż równanie 2x2 + 4 = 3x.
Rozwiązanie
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, aby po prawej zostało tylko 0.
2x2 + 4 – 3x = 0
Porządkujemy równanie.
Na początku zapisujemy wyrazy z x2, następnie z x, na końcu liczby.
2x2 – 3x + 4 = 0
Wyznaczamy deltę.
a = 2, b = – 3, c = 4
Δ= b2 – 4ac
Δ= (- 3)2 – 4 · 2 · 4
Δ= 9 – 32
Δ = – 23
Odp. Delta jest ujemna, więc równanie nie posiada rozwiązań.