Logika – Pierwiastekzdwóch.pl

Wstęp do logiki

Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi. Zdania proste w matematyce oznaczamy małymi literami p, q, r… W naszych rozważaniach będą nas interesowały te typy zdań, o których możemy jednoznacznie powiedzieć, że są prawdą lub fałszem.

zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0

zdanie prawdziwe ma wartość logiczną 1

Przykłady zdań logicznych

1. 2 jest liczbą parzystą. Jest to prawda, jest to zdanie prawdziwe, więc ma wartość logiczną 1. 2. 7 jest liczbą parzystą. Jest to nieprawda, to zdanie fałszywe, więc ma wartość logiczną 0. 3. Liczba 4 jest rozwiązaniem równania 2x + 6 = 10. Pod iksa podstawiamy liczbę 4 i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwa.

2 · 4 + 6 = 10

8 + 6 = 10

14 ≠ 10

Jest to nieprawda, to zdanie fałszywe, więc ma wartość logiczną 0. 4. Warszawa jest stolicą Polski. Jest to prawda, więc wartość logiczna tego zdania wynosi 1. Nie wszystkie zdania w języku polskim są zdaniami w sensie matematycznym. Jeżeli nie możemy przyporządkować wypowiedzi wartości 1 lub 0, to nie będzie to zdanie w sensie matematyczny.

Przykłady wypowiedzi, które nie są zdaniami w sensie matematycznym.

1. Czy lubisz rosół? 2. Wyjdź stąd!

Zdania złożone

Jeżeli dwa zdania proste połączymy spójnikiem logicznym, to otrzymamy zdanie złożone.

W poniższej tabelce znajdziecie wszystkie typy zdań złożonych wraz ze spójnikami logicznymi.

Koniunkcja

Koniunkcja to dwa zdania proste połączone spójnikiem i.

Spójnik i w matematyce zapisujemy jako ∧.

Mając dwa zdania proste p i q, ich koniunkcję zapiszemy następująco: p ∧ q

Przykład 1

Zapisz używając symbolu koniunkcji.

a) 2 + 2 = 4 i 23 + 1 = 25

2 + 2 = 4 ∧ 23 + 1 = 25

b) Warszawa jest stolicą Polski i psy potrafią latać.

Warszawa jest stolicą Polski ∧ psy potrafią latać.

Przykład 2

Odczytaj poniższe zdania

a) 2 – 3 = 4 ∧ 3 = 3

2 – 3 = 4 i 3 = 3

b) Madryt leży w Hiszpanii ∧ 3 jest liczbą pierwszą.

Madryt leży w Hiszpanii i 3 jest liczbą pierwszą.

Chcąc stwierdzić czy całe zdanie złożone jest prawdziwe czy fałszywe używamy tabelki koniunkcji.

Zauważcie, że koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania ją tworzące są prawdziwe.

Przykład 3

Określ prawdziwość zdania złożonego 5 + 2 = 6 ∧ 6 – 1 = 4.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie 5 + 2 = 6 jest fałszywe, więc ma wartość logiczną 0.

Zdanie 6 – 1 = 4 jest fałszywe, więc ma wartość logiczną 0.

Korzystamy z tabelki koniunkcji i zauważamy, że gdy mamy 0 ∧ 0, to koniunkcja jest fałszywa.

Przykład 4

Określ prawdziwość zdania Liczba 4 jest parzysta ∧ Warszawa jest stolicą Polski.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie liczba 4 jest parzysta jest prawdziwe, więc ma wartość 1.

Zdanie Warszawa jest stolicą Polski jest prawdziwe, więc ma wartość logiczną 1.

Korzystamy z tabelki i zauważamy, że gdy mamy 1 ∧ 1 to koniunkcja jest prawdziwa.

Przykład 5

Określ prawdziwość zdania – 6 jest liczbą ujemną ∧ 4 > 6.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie – 6 jest liczbą ujemną jest prawdziwe, więc ma wartość 1.

Zdanie 4 > 6 jest fałszywe, więc ma wartość logiczną 0.

Korzystamy z tabelki koniunkcji i zauważamy, że gdy mamy 1 ∧ 0 to koniunkcja jest fałszywa.

Alternatywa

Alternatywa to dwa zdania proste połączone spójnikiem lub.

Spójnik lub w matematyce zapisujemy jako ∨.

Mając dwa zdania proste p oraz q, ich alternatywę zapiszemy następująco: p ∨ q

Przykład 1

Zapisz używając symbolu alternatywy.

a) 2 + 2 = 4 lub 23 + 1 = 25

2 + 2 = 4 ∨ 23 + 1 = 25

b) Warszawa jest stolicą Polski lub psy potrafią latać.

Warszawa jest stolicą Polski ∨ psy potrafią latać.

Przykład 2

Odczytaj poniższe zdania

a) 2 – 3 = 4 ∨ 3 = 3

2 – 3 = 4 lub 3 = 3

b) Madryt leży w Hiszpanii ∨ 3 jest liczbą pierwszą.

Madryt leży w Hiszpanii lub 3 jest liczbą pierwszą.

Chcąc stwierdzić czy całe zdanie złożone jest prawdziwe czy fałszywe używamy tabelki alternatywy.

Zauważcie, że alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba zdania ją tworzące są fałszywe.

Przykład 3

Określ prawdziwość zdania złożonego 4 – 1 = 5 ∨ liczba 8 jest dodatnia.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie 4 – 1 = 5 jest fałszywe, więc ma wartość logiczną 0.

Zdanie liczba 8 jest dodatnia jest prawdziwe, więc ma wartość 1.

Korzystamy z tabelki i zauważamy, że gdy mamy 0 ∨ 1 to alternatywa jest prawdziwa.

Przykład 4

Określ prawdziwość zdania złożonego 5 + 1 = 6 ∨ 6 = 3.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie 5 + 1 = 6 jest prawdziwe, więc ma wartość logiczną 1.

Zdanie 6 = 3 jest fałszywe, więc ma wartość 0.

Korzystamy z tabelki i zauważamy, że gdy mamy 1 ∨ 0 to alternatywa jest prawdziwa.

Przykład 5

Określ prawdziwość zdania złożonego 4 – 3 = 8 ∨ 2 + 4 = 5.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie 4 – 3 = 8 jest fałszywe, więc ma wartość logiczną 0.

Zdanie 2 + 4 = 5 jest fałszywe, więc ma wartość logiczną 0.

Korzystamy z tabelki i zauważamy, że gdy mamy 0 ∨ 0 to alternatywa jest fałszywa.

Przykład 6

Określ prawdziwość zdania złożonego Warszawa jest stolicą Polski ∨ 6 jest liczbą dodatnią.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie Warszawa jest stolicą Polski jest prawdziwe, więc ma wartość logiczną 1.

Zdanie 6 jest liczbą dodatnią jest prawdziwe, więc ma wartość 1.

Korzystamy z tabelki i zauważamy, że gdy mamy 1 ∨ 1 to alternatywa jest prawdziwa.

Implikacja

Implikacja to dwa zdania proste połączone spójnikiem jeżeli … to …

Spójnik jeżeli … to … w matematyce zapisujemy jako =>.

Mając dwa zdania proste p oraz q to ich implikację zapiszemy następująco: p ⇒ q.

p – poprzednik

q – następnik

Przykład 1

Zapisz używając symbolu implikacji.

a) Jeżeli 2 + 2 = 4 to 23 + 1 = 25

2 + 2 = 4 ⇒ 23 + 1 = 25

b) Jeżeli Warszawa jest stolicą Polski to psy potrafią latać.

Warszawa jest stolicą Polski ⇒ psy potrafią latać.

Przykład 2

Odczytaj poniższe zdania.

a) 2 – 3 = 4 ⇒ 3 = 3

Jeżeli 2 – 3 = 4 to 3 = 3

b) Madryt leży w Hiszpanii ⇒ 3 jest liczbą pierwszą.

Jeżeli Madryt jest stolicą Hiszpanii to 3 jest liczbą pierwszą.

Chcąc stwierdzić czy całe zdanie złożone jest prawdziwe czy fałszywe używamy tabelki implikacji.

Zauważcie, że implikacja dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy z prawdy wynika fałsz.

Przykład 3

Określ prawdziwość zdania złożonego 4 + 1 = 3 ⇒ 6 jest liczbą pierwszą.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie 4 + 1 = 3 jest fałszywe, więc ma wartość logiczną 0.

Zdanie 6 jest liczbą pierwszą jest fałszywe, więc ma wartość 0.

Korzystamy z tabelki i zauważamy, że gdy mamy 0 ⇒ 0 to implikacja jest prawdziwa.

Przykład 4

Określ prawdziwość zdania Warszawa jest stolicą Polski ⇒ 2 + 2 = 4.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie Warszawa jest stolicą Polski jest prawdziwe, więc ma wartość logiczną 1.

Zdanie 2 + 2 = 4 jest prawdziwe, więc ma wartość 1.

Korzystamy z tabelki i zauważamy, że gdy mamy 1 ⇒ 1 to implikacja jest prawdziwa.

Przykład 5

Określ prawdziwość zdania złożonego 5 > 4 ⇒ 12 + 5 = 7.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie 5 > 4 jest prawdziwe, więc ma wartość logiczną 1.

Zdanie 12 + 5 = 7 jest fałszywe, więc ma wartość 0.

Korzystamy z tabelki i zauważamy, że gdy mamy 1 ⇒ 0 to implikacja jest fałszywa.

Równoważność

Równoważność to dwa zdania proste połączone spójnikiem … wtedy i tylko wtedy gdy…

Spójnik …wtedy i tylko wtedy, gdy… w matematyce zapisujemy jako ⇔.

Mając dwa zdania proste p oraz q, ich równoważność zapiszemy następująco: p ⇔ q

Przykład 1

Zapisz używając symbolu równoważności.

a) 2 + 2 = 4 wtedy i tylko wtedy, gdy 23 + 1 = 25

2 + 2 = 4 ⇔ 23 + 1 = 25

b) Warszawa jest stolicą Polski wtedy i tylko wtedy, gdy psy potrafią latać.

Warszawa jest stolicą Polski ⇔ psy potrafią latać.

Przykład 2

Odczytaj poniższe zdania

a) 2 – 3 = 4 ⇔ 3 = 3

2 – 3 = 4 wtedy i tylko wtedy, gdy 3 =3

b) Madryt leży w Hiszpanii ⇔ 3 jest liczbą pierwszą.

Madryt leży w Hiszpanii wtedy i tylko wtedy, gdy 3 jest liczbą pierwszą.

Chcąc stwierdzić czy całe zdanie złożone jest prawdziwe czy fałszywe używamy tabelki równoważności.

Zauważcie, że równoważność dwóch zdań jest prawdziwa wtedy, gdy oba zdania ją tworzące mają tą samą wartość logiczną (oba są prawdziwe lub oba są fałszywe).

Przykład 3

Określ prawdziwość zdania 6 jest liczbą parzystą ⇔ 4 + 1 = 5.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie 6 jest liczbą parzystą jest prawdziwe, więc ma wartość 1.

Zdanie 4 + 1 = 5 jest prawdziwe, więc ma wartość 1.

Korzystamy z tabelki i zauważamy, że gdy mamy 1 ⇔ 1 to równoważność jest prawdziwa.

Przykład 4

Określ prawdziwość zdania 3 – 1 = 5 ⇔ 4 jest liczbą dodatnią.

Rozwiązanie

Oceniamy wartości logiczne obu zdań.

Zdanie 3 – 1 = 5 jest fałszywe, więc ma wartość logiczną 0.

Zdanie 4 jest liczbą dodatnią jest prawdziwe, więc ma wartość 1.

Korzystamy z tabelki i zauważamy, że gdy mamy 0 ⇔ 1 to równoważność jest fałszywa.

Negacja

Negacja to zaprzeczenie.

Zaprzeczenie zdania p oznaczamy jako ~p i odczytujemy jako nieprawda, że p.

Negacja zmienia wartość logiczną na przeciwną.

Rachunek zdań

Na kolejnych lekcjach zajmiemy się tautologiami.

Tautologia lub inaczej prawo rachunku zdań to wyrażenie zbudowane ze zdań prostych i spójników logicznych, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań je tworzących.

Poniżej znajdują się najczęściej spotykane tautologie.

1. Prawo wyłączonego środka.

p ∨ (∼p)

2. Prawo sprzeczności.

∼ (p ∧ (∼ p))

3. Prawo podwójnej negacji.

p ⇔ ∼ (∼ p)

4. I prawo de Morgana (zaprzeczenie koniunkcji).

(∼(p ∧ q)) ⇔ (( ∼ p) ∨ ( ∼ q))

5. II prawo de Morgana (zaprzeczenie alternatywy).

(∼(p ∨ q)) ⇔ (( ∼ p) ∧ ( ∼ q))

6. Prawo oderwania.