Każdy logarytm wygląda następująco:

Przykład 1

Odczytaj logarytmy.

a) log₂3 – logarytm o podstawie 2 z 3

b) log₅7 – logarytm o podstawie 5 z 7

c) log₃11 – logarytm o podstawie 3 z 11

UWAGA! gdy w podstawie stoi liczba 10 zwyczajowo jej nie zapisujemy, więc log₁₀2 = log2

d) log6 – logarytm o podstawie 10 z 6

e) log12 – logarytm o podstawie 10 z 12

Przykład 2

Zapisz używając symbolu logarytmu.

a) logarytm o podstawie 4 z 13 – log₄13

b) logarytm o podstawie 10 z 5 – log₁₀5 = log5

c) logarytm o podstawie 2 z 2 – log₂2

d) logarytm o podstawie 11 z 4 – log₁₁4

Aby logarytm istniał muszą być spełnione trzy poniższe warunki :

– podstawa logarytmu musi być dodatnia (a > 0)

– podstawa logarytmu musi być różna od jednego (a ≠ 1)

– liczba logarytmowana musi być dodatnia (b > 0)

Aby obliczyć logarytm najwygodniej korzystać z metody „kółeczka”.

Przykład 1

Oblicz log₂8 = x.

Rozwiązanie

log₂8 = x

2^x = 8

2^x = 2³

x = 3

Przykład 2

Oblicz log₃3 = x.

Rozwiązanie

log₃3 = x

log₃3 = x

3^x = 3

3^x = 3¹

x = 1

Przykład 3

Oblicz log₅1=x.

Rozwiązanie

log₅1=x

5^x = 1

5^x = 5⁰ (bo każda osoba podniesiona do potęgi 0 wynosi 1)

x = 0

Wyznaczając podstawę logarytmu należy pamiętać, że musi być ona dodatnia oraz różna od 1.

Przykład 1

Wyznacz podstawę logarytmu

log_a4 = 2

Rozwiązanie

a² = 4

Otrzymujemy dwa wyniki a = 2 oraz a = – 2.

Rozwiązanie ujemne odrzucamy (a > 0).

Odp. Podstawa tego logarytmu wynosi 2.

Na tej lekcji nauczycie się wzorów wykorzystywanych przy rozwiązywaniu zadań dotyczących logarytmów.

Dodawanie logarytmów o tych samych podstawach

Wykonując dodawanie logarytmów o tej samej podstawie korzystamy z następującego wzoru:

                     log_ab + log_ac = log_a(b·c)

1. log₆3 + log₆2 = log₆(3·2) = log₆6 = 1

2. log2 + log5 = log(2·5) = log5 = 1

3. log4 + log25 = log(4·25) = log100 = 2

4. log₂2 + log₂8 = log₂(2·8) = log₂16 = 4

Przykład

Oblicz korzystając ze wzoru na dodawanie logarytmów o tej samej podstawie.

log₃3 + log₃27 = log₃(3·27) = log₃81 = ?

log₃81 = x

3^x = 81

3^x = 3⁴

x = 4

log₃3 + log₃27 = log₃(3·27) = log₃81 = 4

Odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach

Aby odjąć logarytmy o tej samej podstawie korzystamy z następującego wzoru:

                          log_ab – log_ac = log_a(b : c)

1. log₃6 – log₃2 = log₃(6 : 2) = log₃3 = 1

2. log30 – log3 = log(30 : 3) = log10 = 1

3. log₅100 – log₅4 = log₅(100:4) = log₅25 = 2

Przykład

Oblicz wykorzystując wzór na odejmowanie logarytmów.

log₂22 – log₂11 = log₂(22 : 11) = log₂2

log₂2 = x

2^x = 2

2^x = 2¹

x = 1

log₂22 – log₂11 = log₂(22 : 11) = log₂2 = 1

Spójrzcie na kolejny wzór – logarytm potęgi.

              n · log_ab = log_abⁿ

Przykłady

1. 2log₃6 = log₃6² = log₃36

2. 4log₅2 = log₅2⁴ = log₅16

3. 2log₇3 = log₇3² = log₇9

Spójrzmy teraz na wzór, gdy logarytm znajduje się w wykładniku potęgi.

Przykłady

1. 

2. 

3.