Funkcję określoną wzorem y = ax + b nazywamy funkcją liniową.

a – współczynnik kierunkowy prostej

b – wyraz wolny (współrzędna przecięcia wykresu funkcji z osią OY)

Wykresem funkcji liniowej jest prosta nachylona do osi OX pod kątem .

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Aby sporządzić wykres funkcji liniowej należy:

– wyznaczyć przynajmniej dwa punkty, które należą do jej wykresu

– poprowadzić przez nie prostą.

Przykład 1

Sporządź wykres funkcji y = x + 1

1. Tworzymy tabelkę i w jej górnym wierszu wpisujemy dowolne iksy (należące do dziedziny funkcji).

2. Podstawiamy po kolei do wzoru funkcji argumenty {-1, 0, 1, 2} i obliczamy wartości funkcji, które wpisujemy w wierszu dolnym.

f(-1) = -1 +1 = 0, więc dla x = -1 mamy y = 0

f(0) = 0 + 1 = 1, więc dla x = 0 mamy y = 1

f(1) = 1 + 1 = 2, więc dla x = 1 mamy y = 2

f(2) = 2 + 1 = 3, więc dla x = 2 mamy y = 3

3. Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych.

4. Łączymy punkty i otrzymujemy wykres funkcji.

5. Podpisujemy prostą odpowiednim równaniem.

Spójrzcie na poniższy film, na którym dokładnie omawiam metody rysowania wykresów funkcji liniowych.

Jeżeli nie chcecie korzystać z metody zaprezentowanej na poprzedniej lekcji, to możecie wykorzystać inny sposób do rysowania wykresów funkcji liniowych.

Moim zdaniem jest on dużo przyjemniejszy od sporządzania tabelki.

Punkt przecięcia wykresu każdej funkcji z prostą OY ma współrzędne (0,y), czyli pierwsza współrzędna takiego punktu jest zawsze równa 0, co możecie zobaczyć na poniższym rysunku.

Na rysunku punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY ma współrzędne (0,2).

Spójrzcie teraz na funkcję liniową y = ax + b.

W funkcji liniowej wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o współrzędnych (0, b), gdzie b to wyraz wolny.

Przykład 1

Podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji y = 2x – 4 z osią OY.

Rozwiązanie

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że b = – 4.

Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY ma współrzędne (0, b).

Zatem w naszym przypadku jest to punkt (0, – 4).

Miejsce zerowe to punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

Funkcja liniowa może posiadać:             

• jedno miejsce zerowe

• nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy y = 0

• brak miejsc zerowych, gdy mamy do czynienia z funkcją stałą (oprócz y = 0).

Miejsce zerowe funkcji liniowej można wyznaczyć dwoma sposobami:

  1. Podstawić w miejsce igreka 0 (y = 0) do wzoru funkcji.

  Przykład 1

Wyznacz miejsce zerowe funkcji y = 2x + 4.

y = 2x + 4  

0 = 2x + 4  

– 2x = 4 |: (- 2)  

x₀ = – 2

Odp. Miejsce zerowe tej funkcji to x₀ = – 2.

                                        2. Skorzystać ze wzoru na miejsce zerowe :

Przykład 2

Wyznacz miejsce zerowe.

y = 2 x + 4   ->  a = 2  oraz  b = 4

Odp. Miejsce zerowe tej funkcji to x₀ = – 2.

Przykład 3

Wyznacz miejsce zerowe funkcji o wzorze y = – 4x – 5.  

I sposób

0 = – 4x – 5  

4x = – 5 | : 4  

II sposób  

y = – 4 x – 5   ->  a = – 4   oraz  b = – 5

Funkcja liniowa może być rosnąca, malejąca lub stała.

Mając dany wzór funkcji liniowej jej monotoniczność odczytujemy po współczynniku kierunkowym prostej czyli a (liczbie stojącej przy iksie).

  y = ax + b

a > 0 funkcja rosnąca

a < 0 funkcja malejąca

a = 0 funkcja stała

Przykład 1

Określ monotoniczność funkcji.

a) y= 2 x + 4

    a = 2 , a > 0, funkcja rosnąca  

b) y= -2 x + 5

     a= – 2 , a < 0, funkcja malejąca  

c) y = 3

    a = 0, funkcja stała  

d) y= 5 – 2 x

    a= – 2 , a < 0, funkcja malejąca  

e) y = 4 x + 2

    a = 4 , a > 0, funkcja rosnąca  

f) y = -1

    a = 0, funkcja stała

Podsumujmy wiadomości zawarte w filmie.

Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (x₁, y₁) oraz B = (x₂, y₂) korzystamy z jednej z poniższych metod.

ze wzoru:

( y – y₁)(x₂ – x₁) = (y₂ – y₁)(x – x₁)

współrzędne obu punktów podstawiamy do wzoru y = ax + b i tworzymy układ równań, który następnie należy rozwiązać

wykorzystujemy wzór na współczynnik liniowy   . Po jego obliczeniu podstawiamy wyznaczoną liczbę  oraz współrzędne jednego z punktów do wzoru y = ax + b, a następnie wyznaczamy wyraz wolny (b).

Tym razem powiemy sobie kilka słów na temat dwóch postaci prostej :

– postaci kierunkowej

– postaci ogólnej

Postać kierunkowa ma następujący wzór :

y = ax + b

a – współczynnik kierunkowy prostej

b – wyraz wolny

Przykłady prostych w postaci kierunkowej

y = 2x – 4

y = – 3x – 2

y = 2

y = – 4

Postać ogólna ma następujący wzór :

Ax + By + C =0 ,

gdzie  A i B nie mogą być jednocześnie równe 0.

Przykłady prostych  w postaci ogólnej

2x – 4y + 5 = 0

-3x – y + 1 = 0

x + 3 = 0

y – 1 = 0

Zadanie 1

Naszkicuj prostą daną za pomocą równania 2x + y – 1 = 0.

Zadanie 2

Naszkicuj prostą daną za pomocą równania  .

Jedna prosta może mieć wiele równań ogólnych. Szerzej mówię na ten temat w poniższym filmie.

Zadanie 3

Które z równań opisują tą samą prostą?

l : -2x + y + 1 = 0

k : -4x + 4y + 4 = 0

m : 20x – 4y – 12 = 0

n : – 15x + 3y + 9 = 0

o : – 4x + 2y + 1 = 0

p : – 10x + 2y + 6 = 0

Zadanie 4

Naszkicuj prostą o równaniu 2x – y +1 = 0. Podaj współrzędne punktów, w których przecina ona osie układów współrzędnych.

Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie 7

Wykresem funkcji liniowej y = ax + b jest prosta nachylona do osi OX pod kątem alfa, gdzie:

• Jeżeli kąt α jest ostry ( 0° < α < 90° ),  to współczynnik kierunkowy jest dodatni

• Jeżeli kąt α jest rozwarty (90° < α < 180°) , to współczynnik kierunkowy jest ujemny

• Jeżeli α = 90°, wówczas nie podamy współczynnika kierunkowego, gdyż      tg 90° nie istnieje.

• Jeżeli α = 0° lub α = 180°, to współczynnik kierunkowy wynosi 0 i mamy do czynienia z funkcją liniową stałą o równaniu y = b.

Więcej informacji na ten temat znajdziecie w poniższym filmie.

Zadanie 1

Podaj kąt nachylenia wykresu funkcji do osi OX.

Zadanie 2

Dla jakiego parametru m funkcja y = mx + 1 jest nachylona do osi OX pod kątem 30º ?

Zadanie 3

Podaj wzór prostej nachylonej do osi OX pod kątem 45º i przechodzącej przez punkt o współrzędnych (2, 3).

Zadanie 4

Wyznacz równanie prostej nachylonej do osi OX pod kątem 120º i przechodzącej przez punkt .

Zadanie 5

Znajdź równanie prostej nachylonej pod kątem 135º do osi OX i przechodzącej przez punkt A = (- 3, 5).

Mamy dwie proste:

y = a₁x + b₁

oraz

y = a₂x + b₂

Proste te będą równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe będą takie same.

a₁ = a₂

Proste równoległe oznaczamy symbolem „ ”.

Zapis  oznacza, że prosta k jest równoległa do prostej m.

Proste równoległe są nachylone do osi OX pod tym samym kątem.

Zadanie 1

Zbadaj równoległość prostych :

a) y = – x oraz y = x – 1

b) y = 3x + 1 oraz y = 3x – 2

c)   oraz  

d) y = 3x – 5 oraz y = 6 + 3x

e)    oraz 

Zadanie 2

Podaj równanie prostej równoległej do przechodzącej przez punkt A = (2, 6).

Zadanie 3

Prosta o równaniu jest równoległa do y = 4x – 1, stąd wynika, że

Zadanie 4

Prosta l ma równanie . Wskaż równanie prostej równoległej do prostej l.

Zadanie 5

Prostymi równoległymi są proste o wzorach :

a) y = 4x – 1 oraz y = – 4x + 2

b) y = 2 – 4x oraz y = – 4x + 3

c)    oraz y = x + 2

d) y = x oraz y = – x

Zadanie 6

Prosta równoległa do prostej o równaniu 2x – 4y +6 = 0 ma wzór :

a) y = – 2x – 3

b)

c) y = – 4x – 4

d) 

Zadanie 7

Wskaż równanie prostej, która jest równoległa do prostej o równaniu 4x – 2y = 7.

a) y = 2x + 4

b) y = -2x – 4

c)

d)

Zadanie 8

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 4x – 2y = 7.

a) y = 2x + 4

b) y = – 2x – 4

c)

d)

Zadanie 9

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu

y = – 4x + 6 jest równy :

a) 4

b) – 4

c)

d)

Zadanie 10

Wyznacz parametr m, dla którego prosta o równaniu y = (m – 1)x + 4

jest równoległa do prostej y = – 4x – 5.

Zadanie 11

Wiadomo, że proste o równaniach y = 3x + 4 oraz y = (2m + 2)x – 1

są równoległe. Wynika z tego, że :

a) m = – 2

b) m = 2

c) m =

d) m =

Zadanie 12

Wskaż prostą równoległą do prostej k danej równaniem

a)

b)

c)

d)

Zadanie 13

Wskaż równanie prostej równoległej do 5x + 3y + 4 = 0.

a)

b)

c)

d)

Zadanie 14

Podaj równanie prostej równoległej do y = 4x + 5 i przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Zadanie 15

Prosta k pokazana na rysunku jest równoległa do prostej l.

Wiedząc, że wykres prostej l przechodzi przez punkt A = (2, 4) podaj jej wzór w postaci ogólnej.

Mamy dwie proste:

y = a₁x + b₁

oraz

y = a₂x + b₂

Proste te będą prostopadłe, gdy:

a₁ · a₂ = – 1

Proste prostopadłe oznaczamy symbolem .

Zapis  odczytujemy jako : prosta k jest prostopadła do prostej l.

Dwie proste są prostopadłe, gdy przecinają się pod kątem prostym.

Zadanie 1

Sprawdź czy proste oraz są prostopadłe.

Zadanie 2

Sprawdź czy  proste oraz l : y = – 5x + 1 są prostopadłe.

Zadanie 3

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej k, jeśli jest ona prostopadła do prostej o wzorze .

Zadanie 4

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej k, jeśli jest ona prostopadła do prostej o wzorze .

Zadanie 5

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do y = – 3x + 2 i przechodzącej przez punkt (0, – 2).

Zadanie 6

Miejsce zerowe pewnej funkcji liniowej jest równe 4. Jej wykresem jest prosta prostopadła do prostej m : 2x + y – 4 = 0. Podaj równanie szukanej prostej w postaci kierunkowej.

Zadanie 7

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do y = 2 i przechodzącej przez punkt A = (-3, 4).

Zadanie 8

Wyznacz równania prostych AB, AC, BC. Sprawdź czy trójkąt ABC jest prostokątny.

Zadanie 9

Podaj dla jakiego parametru m proste o równaniach y = 2mx – 1 oraz y = 4m²x+m² + 1 są prostopadłe.

Zadanie 10

Podaj parametr m, dla którego proste y = (m +2)x – 4 oraz x + 3 = 0 są prostopadłe.

Spójrzcie teraz na film, w którym podsumujemy informacje na temat współczynnika kierunkowego.

Rozwiązaniem układu równań jest punkt (punkty), w których proste będą się przecinały.

Układ równań liniowych może posiadać :

• jedno rozwiązanie
• brak rozwiązań
• nieskończenie wiele rozwiązań.

Wszystko dokładniej tłumaczę na poniższym filmie.

Zadanie 1

Rozwiąż układ równań metodą graficzną.

Zadanie 2

Rozwiąż układ równań metodą graficzną.