Funkcja kwadratowa to funkcja postaci y = ax2 + bx + c, gdzie a≠0.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Przykłady funkcji kwadratowych
1. f(x) = 2x2 + 3x + 4
2. f(x) = 5x2 + 2
3. f(x) = x2
4. f(x) = 3x2 + 5x
Ćwiczenie 1
Odczytaj współczynniki a, b, c ze wzoru funkcji kwadratowej.
a) y = 2x² + 4x – 3
b) y = 4x² + 5
c) y = -6x² – 4x
d) y = 6x²
e) y = 4x – 5x²
f) y = -2x² + 4 – 3x
Wiesz już, że wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Dodajmy do tego, że kierunek ramion zależy od współczynnika liczbowego stojącego przy x2.
– gdy a > 0 to ramiona paraboli są skierowane do góry
1. y = 2x2 + 4x – 1, a = 2
2. y = 3x2 + 4 , a = 3
3. y =x2 -> y = 1x2, a = 1
4. y = 3x2 – 2x, a = 3
– gdy a < 0 to ramiona paraboli są skierowane do dołu.
1. y = – 2x2 + 4x – 5, a = – 2
2. y = – 3x2 + 4, a = – 3
3. y = – x2 – 1
y = – 1x2 – 1, a = – 1
4. f(x) = – 5x2 , a = – 5
Na wykresie funkcji kwadratowej można wskazać ramiona paraboli oraz jej wierzchołek, który oznaczamy jako W.
Przykład 1
Podaj współrzędne wierzchołka paraboli. Podaj czy ramiona paraboli są skierowane do góry czy do dołu.
Przykład 2
Odczytaj współrzędne wierzchołka paraboli.
Rozwiązanie
W = (1, 2)
Deltę nazywamy inaczej wyróżnikiem trójmianu kwadratowego i oznaczamy symbolem Δ .
Gdy mamy równanie kwadratowe postaci ax2 + bx + c = 0 to deltę obliczamy ze wzoru:
Δ = b2 – 4ac
a – liczba przy x2
b – liczba przy x
c – liczba
Przykład 1
Wyznacz deltę równania 2x2 – 5x + 4 = 0.
Rozwiązanie
Wypisujemy współczynniki liczbowe.
2x2 – 5x + 4 = 0
a = 2
b = – 5
c = 4
Obliczamy deltę.
Δ = b2 – 4ac
Δ = (-5)2 – 4 · 2 · 4
Δ = 25 – 32
Δ = -7
Przykład 2
Wyznacz deltę równania x2 – 4x + 1 = 0.
Rozwiązanie
Wypisujemy współczynniki liczbowe :
x2 – 4x + 1 = 0
1x2 – 4x + 1 = 0
a = 1
b = – 4
c = 1
Obliczamy deltę.
Δ = b2 – 4ac
Δ = (- 4)2 – 4 · 1 · 1
Δ = 16 – 4
Δ = 12
Aby wyznaczyć miejsca zerowe należy umieć policzyć wyróżnik trójmianu kwadratowego czyli Δ .
W zależności od wartości Δ funkcja kwadratowa może :
– mieć 2 miejsca zerowe, gdy Δ > 0
– mieć jedno miejsce zerowe, gdy Δ = 0
– nie mieć miejsc zerowych, gdy Δ < 0
Ćwiczenie 1
Ile miejsc zerowych ma funkcja o podanym wzorze?
Ćwiczenie 2
Podaj miejsca zerowe (o ile istnieją).
Ćwiczenie 3
Wyznacz miejsca zerowe.
Ćwiczenie 1
Zapisz funkcję w postaci kanonicznej.
Ćwiczenie 2
Zapisz wór funkcji w postaci kanonicznej.
Ćwiczenie 3
Podaj wzór funkcji w postaci kanonicznej.
Ćwiczenie 4
Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku W. Zapisz wzór funkcji w postaci ogólnej i kanonicznej, gdy punkt A należy do wykresu tej paraboli.
Ćwiczenie 5
Podaj wzór funkcji w postaci kanonicznej.
Ćwiczenie 6
Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem.
Ćwiczenie 7
Określ maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca a w którym rosnąca.
Ćwiczenie 1
Podaj miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
Ćwiczenie 2
Podaj wzór funkcji w postaci iloczynowej.
W kilku poniższych filmach przedstawiam metody rysowania wykresów funkcji kwadratowych.
Pokazuję jak rysować wykres, gdy funkcję mamy daną w postaci iloczynowej, ogólnej oraz kanonicznej.
Film 1
Film 2
Film 3
Ćwiczenie 1
Podaj wartość najmniejszą i największą funkcji w zadanym przedziale.
Ćwiczenie 2
Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = – x² – 8x +4 w przedziale <-3, 4>.
Ćwiczenie 3
Podaj największą wartość funkcji f(x) = x² – 6x + 3 w przedziale <0, 4>.