Zbiory najczęściej oznaczamy dużymi literami A, B, C …, zaś ich elementy małymi a, b, c …
Zbiory można określić poprzez :
1. Wymienienie wszystkich jego elementów.
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2}
C = {a, b, c, d}
D = {papuga, kot, pies}
2. Podanie własności jakie mają spełnić elementy danego zbioru.
A = {x ∈ N : x < 5} – zbiór liczb naturalnych mniejszych od 5
B = {x ∈ R : x > 6} – zbiór liczb rzeczywistych większych od 6
W tym dziale spotkacie się z następującymi symbolami :
Ø – zbiór pusty (zbiór bez elementów)
A = B – zbiory równe (mają te same elementy)
a ∈ A – a należy do zbioru, np. 3 ∈ N
a ∉ A – a nie należy do zbioru A, np. – 2 ∉ N
A ⊂ B – zbiór A zawiera się w zbiorze B
np. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2}, więc B ⊂ A
Przykład 1
Podaj wszystkie elementy należące do podanych zbiorów.
Przykład 2
Określ, które z relacji A = B, A⊂B, B⊂A są prawdziwe, gdy
a) A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3}
b) A = {x ∈ R : x² = 9}, B = {-3, 3}
Przykład 3
Na diagramie przedstawiono zbiór A = {1, 2, 4, 6, 7}. Określ czy poniższe zdania są prawdziwe.
a) 1 ∈ A
b) – 3 ∈ A
c) √4 ∈ A
d) 3 ∉ A
Przykład 3
Podaj wszystkie elementy zbiorów A, B, C.
A – zbiór liczb naturalnych mniejszych od 4
B – zbiór liczb całkowitych , których kwadraty są mniejsze od 5
C – zbiór liczb naturalnych, których kwadraty są mniejsze od 5
Przed rozwiązaniem kolejnego przykładu wprowadźmy kolejne określenie : zbiory rozłączne.
Zbiory A i B są rozłączne wówczas, gdy nie mają wspólnych elementów. Więcej na ten temat dowiecie się z poniższego filmu.
Przykład 4
Czy zbiory A i B są rozłączne?
a) A – zbiór liczb parzystych, B – zbiór liczb nieparzystych
b) A – zbiór liczb parzystych, B – zbiór liczb podzielnych przez 25
Suma zbiorów A i B to zbiór zawierający elementy należące do zbioru A i do zbioru B, potocznie mówimy, że suma „bierze wszystko”.
Sumę zbiorów A i B oznaczamy : „ ∪ ”.
Suma zbiorów A i B to zbiór zawierający wszystkie elementy z obu zbiorów.
Graficznie suma zbiorów A i B wygląda następująco:
Przykład 1
Wyznacz sumę zbiorów.
a) A = {1, 2, 4}, B = {2, 6}
b) A = {1, 2}, B = 3}
Przykład 2
Wyznacz sumę zbiorów A = {a, g}, B = {a, f, c}
Przykład 3
Wyznacz sumę, gdy A = <-2, 4>, B = <5, 6>.
Przykład 4
Wyznacz sumę, gdy A = <-4, 6>, B = (0, 4).
Przykład 5
Wyznacz sumę, gdy A = ( -∞, 4>, B = <0, 6).
Przykład 6
Wyznacz sumę, gdy A = <- 3, 2>, B = <0, 5).
Iloczyn zbiorów A i B to ich część wspólna, czyli elementy należące i do zbioru A i do zbioru B jednocześnie.
Iloczyn zbiorów A i B oznaczamy jako A ∩ B.
Ilustracja graficzna iloczynu wygląda następująco:
Przykład 1
Wyznacz iloczyn zbiorów :
a) A = {2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 6, 7}
b) A = {2, 3, 4, 5}, {B = 6, 7, 8}
Przykład 2
Wyznacz iloczyn zbiorów A = { a, b, c, f, g} oraz B = {a, c, h, i}.
Przykład 3
Wyznacz iloczyn zbiorów A = <- 1, 2) oraz B = <3, 4>.
Przykład 4
Wyznacz iloczyn zbiorów A = (- 3, 2) oraz B = <0, 5>.
Przykład 5
Wyznacz iloczyn zbiorów A = <- 3, +∞) oraz B = <- ∞, 0).
Przykład 6
Wyznacz iloczyn zbiorów A = (- ∞, – 4> oraz B = <- 4, + ∞).
Przykład 7
Wyznacz iloczyn zbiorów A = (- ∞, 2) oraz B = <2, + ∞).
Przykład 8
Wyznacz iloczyn zbiorów A = <- 7, 4> oraz B = <- 3, 4>.
Różnica zbiorów A \ B to wszystkie elementy należące do zbioru A i nie należące do zbioru B.
Graficznie taką różnicę można przedstawić jako:
Różnica zbiorów B \ A to wszystkie elementy należące do zbioru B i nie należące do zbioru A.
Graficznie wygląda to następująco:
Przykład 1
Wyznacz A \ B oraz B \ A.
a) A = { 1, 2, 4, 6}, B = {2, 6}
b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 7, 8}
Przykład 2
Wyznacz A \ B oraz B \ A, gdy A = < – 1, 2> oraz B = (3, 5>.
Przykład 3
Wyznacz A \ B oraz B \ A, gdy A = < – 2, 3> oraz B = (0, 1>.
Przykład 4
Wyznacz A \ B oraz B \ A, gdy A = (1, 4) oraz B = (2, 6).