Przykład 1
Rozwiąż równanie (x + 3)(x - 1)(x - 5) = 0 i podaj krotność pierwiastków.
Rozwiązanie
Przykład 2
Rozwiąż równanie (x + 3)2(x - 1)(x + 4) = 0 i podaj krotność pierwiastków.
Rozwiązanie
(x + 3)2(x - 1)(x + 4) = 0
x + 3 = 0 lub x - 1 = 0 lub x + 4 = 0
x = - 3 lub x = 1 lub x = - 4
To równanie posiada trzy rozwiązania x1 = - 3 (pierwiastek dwukrotny), x2 = 1 (jednokrotny), x3 = - 4 (jednokrotny).
Przykład 3
Rozwiąż równanie x2 - 36 = 0 i podaj krotność pierwiastków.
Rozwiązanie
x2 - 36 = 0
Rozkładam lewą stronę wykorzystując wzór skróconego mnożenia
a2 - b2 - a2 = (a - b)(a + b).
x2 - 36 = 0
(x - 6)(x + 6) = 0
Przyrównuję oba nawiasy do zera.
x - 6 = 0 lub x + 6 = 0
x = 6 lub x = - 6
Równanie posiada dwa rozwiązania x1 = 6 (pierwiastek jednokrotny), x2 = - 6 (jednokrotny).
Przykład 4
Rozwiąż równanie 9x2 - 6x + 1 = 0 i podaj krotność pierwiastków.
Rozwiązanie
9x2 - 6x + 1 = 0
Korzystam ze wzoru skróconego mnożenia a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
9x2 - 6x + 1 = 0
(3x - 1)2 = 0
Przyrównuję nawias do zera.
3x - 1 = 0.
3x = 1 |:3
x = 
To równanie posiada jedno rozwiązanie x = (pierwiastek dwukrotny).
Przykład 5
Rozwiąż równanie x4 - 3x3 - 4x2 = 0 i podaj krotność pierwiastków.
Rozwiązanie
x4 - 3x3 - 4x2 = 0
Wyłączam x2 przed nawias.
x2(x2 - 3x - 4) = 0
x2 = 0 lub x2 - 3x - 4 = 0
x = 0 lub 
= 9 - 4 · 1 · (- 4)
= 9 + 16
= 25
= 5
To równanie posiada trzy rozwiązania x1 = 0 (pierwiastek dwukrotny), x2 = - 1 (jednokrotny), x3 = 4 (jednokrotny).
Przykład 6
Rozwiąż równanie 2x3 - 4x2 - 5x + 10 = 0 i podaj krotność pierwiastków.
Rozwiązanie
2x3 - 4x2 - 5x + 10 = 0
Rozkładam lewą stronę wykorzystując grupowanie wyrazów.
Z pierwszych dwóch wyrazów wyłączam 2x2, z dwóch ostatnich – 5.
2x2(x - 2) - 5(x - 2) = 0
(2x2 - 5)(x - 2) = 0
Mamy iloczyn dwóch nawiasów, więc każdy z nich przyrównujemy do 0 i obliczamy rozwiązania.
2x2 - 5 = 0 lub x - 2 = 0
2x2 = 5 lub x = 2
x2 = 2,5 lub x = 2
x = 
lub x = 
lub x = 2
Równanie posiada trzy rozwiązania x1 = , x2 = , x3 = 2. Są to pierwiastki jednokrotne.
Przykład 7
Rozwiąż równanie 2x3 - 7x2 - 8x + 28 = 0 i podaj krotność pierwiastków.
Rozwiązanie
2x3 - 7x2 - 8x + 28 = 0
Rozkładam lewą stronę stosując grupowanie wyrazów.
Z pierwszych dwóch wyrazów wyłączam x2, z dwóch ostatnich - 4.
x2(2x - 7) - 4(2x - 7) = 0
Pierwszy nawias można rozłożyć korzystając ze wzoru skróconego mnożenia a2 - b2 = (a - b)(a + b).
(x2 - 4)(2x - 7) = 0
(x - 2)(x + 2)(2x - 7) = 0
Mamy iloczyn trzech nawiasów, więc każdy przyrównujemy do 0 i wyznaczamy rozwiązania.
x - 2 = 0 lub x + 2 = 0 lub 2x - 7 = 0
x = 2 lub x = - 2 lub 2x = 7
x = 2 lub x = - 2 lub x = 3,5
To równanie posiada trzy rozwiązania jednokrotne x1 = 2 lub x2 = - 2 lub x3 = 3,5.
Przykład 8
Rozwiąż równanie x5 - x = 0 i podaj krotność pierwiastków.
Rozwiązanie
x5 - x = 0
Wyłączam x przed nawias.
x(x4 - 1) = 0
Wyrażenie w nawiasie rozkładam stosując wzór skróconego mnożenia a2 - b2 = (a - b)(a + b).
x(x2 - 1)(x2 + 1) = 0
Wyrażenie w pierwszym nawiasie można jeszcze raz rozłożyć korzystając z tego samego wzoru.
x(x - 1)(x + 1)(x2 + 1) = 0
Otrzymaliśmy iloczyn, wiec możemy wszystko przyrównać do 0.
x = 0 lub x - 1 = 0 lub x + 1 = 0 lub x2 + 1 = 0
x = 0 lub x = 1 lub x = - 1
To równanie posiada trzy rozwiązania x1 = 0 lub x2 = 1 lub x3 = - 1. Są to rozwiązania jednokrotne.
Przykład 9
Rozwiąż równanie x3 + 3x2 = 4x + 12 i podaj krotność pierwiastków.
Rozwiązanie
Przenoszę wszystkie wyrazy na lewą stronę.
x3 + 3x2 = 4x + 12
x3 + 3x2 - 4x - 12 = 0
Grupuję wyrazy.
Z dwóch pierwszych wyłączam x2 a dwóch ostatnich - 4.
x2(x + 3) - 4(x + 3) = 0
W pierwszym nawiasie mamy wzór skróconego mnożenia
a2 - b2 = (a - b)(a + b).
(x2 - 4)(x + 3) = 0
Mamy iloczyn trzech nawiasów, więc każdy przyrównujemy do 0.
(x - 2)(x + 2)(x + 3) = 0
x - 2 = 0 lub x + 2 = 0 lub x + 3 = 0
x = 2 lub x = - 2 lub x = - 3
Równanie posiada trzy jednokrotne rozwiązania x1 = 2 lub x2 = - 2 lub x3 = - 3.