Równanie kwadratowe zupełne rozwiązujemy najczęściej wyznaczając deltę.
= b2 - 4ac
Ilość rozwiązań równania także zależy od delty:
- gdy > 0 to równanie ma dwa rozwiązania
- gdy = 0 to równanie ma jedno rozwiązanie
- gdy < 0 to równanie nie posiada rozwiązań
Przykład 1
Rozwiąż równanie x2 + 2x - 3 = 0.
Rozwiązanie
Wyznaczam deltę.
x2 + 2x - 3 = 0
a = 1, b = 2, c = - 3
= b2 - 4ac
= 22 - 4 · 1 · (-3)
= 4 + 12
= 16
Skoro > 0 to wiemy, że to równanie ma dwa rozwiązania.
Wyznaczam je.
Rozwiązaniem tej nierówności są liczby x1 = - 3 lub x2 = 1.
Przykład 2
Rozwiąż równanie x2 - 2x + 1 = 0.
Rozwiązanie
Wyznaczam deltę.
x2 - 2x + 1 = 0
a = 1, b= - 2, c = 1
= (-2)2 - 4 · 1 · 1
= 4 - 4
= 0
Skoro = 0 to wiemy, że równanie ma jedno rozwiązanie.
x = 1
Równanie posiada jedno rozwiązanie x = 1.
Przykład 3
Rozwiąż równanie 2x2 - 4x + 8 = 0.
Rozwiązanie
2x2 - 4x + 8 = 0
a = 2, b = - 4, c = 8
Wyznaczam deltę.
= b2 - 4ac
= (-4)2 - 4 · 2 · 8
= 16 - 64
= - 48
Delta jest ujemna, więc równanie nie posiada rozwiązań.
Przykład 4
Rozwiąż równanie 2x2 + 4 = 3x.
Rozwiązanie
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę tak, aby po prawej zostało tylko 0.
2x2 + 4 - 3x = 0
Porządkujemy równanie. Na początku zapisujemy wyrazy z x2, następnie z x a na końcu liczby.
2x2 - 3x + 4 = 0
Dopiero teraz wyznaczamy deltę.
a = 2, b = - 3, c = 4
= b2 - 4ac
= (- 3)2 - 4 · 2 · 4
= 9 - 32
= - 23
Delta jest ujemna, więc równanie nie posiada rozwiązań.
Przykład 5
Rozwiąż równanie 5 - (x - 3)(x + 3)=(x + 4)2 - 3x.
Rozwiązanie
5 - (x - 3)(x + 3) = (x + 4)2 - 3x
Opuszczamy nawiasy wykonując odpowiednie działania.
5 - (x2 - 9) = x2 + 8x + 16 - 3x
5 - x2 + 9 = x2 + 8x + 16 - 3x
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę.
5 - x2 + 9 - x2 - 8x - 16 + 3x = 0
Redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy równanie.
- 2x2 - 5x - 2 = 0
Wyznaczam deltę.
a = - 2, b = - 5, c = - 2
= b2 - 4ac
= (- 5)2 - 4 · (-2) · (-2)
= 25 - 16
= 9
Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa rozwiązania. Wyznaczamy je.
Równanie posiada dwa rozwiązania .
Wszystkie równania, które rozwiązywaliśmy w tym dziale możemy rozwiązać dzięki delcie.
Często jednak jest to nieopłacalne, gdyż znacznie wydłuża liczenie.
Spójrzmy teraz na przykłady typu 1, typu 2, typu 3 oraz typu 4 rozwiązane dwiema metodami.
Przykład 6
Rozwiąż równanie x2 = 4.
Rozwiązanie
I sposób
x2 = 4
c > 0, więc równanie ma dwa rozwiązania :
x1 = 2 lub x2 = - 2
II sposób ( z delty)
x2 = 4
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę.
x2 - 4 = 0
a = 1, b = 0, c = - 4
Wyznaczam deltę.
= b2 - 4ac
= 02 - 4 · 1 · (-4)
= 0 + 16
= 16
Delta jest dodatnia, więc równanie posiada dwa rozwiązania.
Otrzymaliśmy ten sam wynik (x1 = 2 lub x2 = - 2), lecz sposób pierwszy jest zdecydowanie dużo krótszy.
Przykład 7
Rozwiąż równanie 2x2 + x = 0.
Rozwiązanie
I sposób
2x2 + x = 0
Wyłączamy z przed nawias.
x(2x + 1) = 0
Przyrównujemy oba czynniki do 0.
x = 0 lub 2x + 1 = 0
x = 0 lub 2x = - 1 | : 2
x1 = 0 lub 
Sposób II (z delty)
2x2 + x = 0
a = 2, b = 1, c = 0
Wyznaczamy deltę.
= b2 - 4ac
= 12 - 4 · 2 · 0
= 1 - 0
= 1
Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa rozwiązania.
Równanie posiada dwa rozwiązania .
Przykład 8
Rozwiąż równanie (x - 2)(x + 4) = 0.
Rozwiązanie
I sposób
Przyrównujemy oba nawiasy do 0 i wyznaczamy rozwiązania.
x - 2 = 0 lub x + 4 = 0
x = 2 lub x = - 4
Sposób II (z delty)
(x - 2)(x + 4) = 0
Aby wyznaczyć deltę musimy równanie sprowadzić do postaci ogólnej czyli ax2 + bx + c = 0.
Wymnażamy nawiasy przez siebie.
x2 + 4x - 2x - 8 = 0
Redukujemy wyrażenia podobne i porządkujemy równanie.
x2 + 2x - 8 = 0
Wyznaczamy deltę.
a = 1, b = 2, c = - 8
= b2 - 4ac
= 22 - 4 · 1 · (- 8)
= 4 + 32
= 36
Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa rozwiązania.
Przykład 9
Rozwiąż równanie (x - 4)2 = 0.
Rozwiązanie
Sposób I
(x - 4)2 = 0
x - 4 = 0
x = 4
Sposób II
Korzystam ze wzoru skróconego mnożenia (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
(x - 4)2 = 0
x2 - 8x + 16 = 0
a = 1, b = - 8, c = 16
Wyznaczam deltę.
= b2 - 4ac
= (-8)2 - 4 · 1 · 16
= 64 - 64
= 0
Delta jest równa 0, więc równanie ma jedno rozwiązanie.
Równanie posiada jedno rozwiązanie x = 4.